Croissance exponentielle

momenLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.lAA Ordres stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi uniforme sur [0, aJ ...................................... 38 Loi exponentielle de paramèlre X- •.•••••••••••••...••••••••••••• 39 Lois gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.3.1 Espérance ............................................. 40 2.3.3.2 Variance ....

(çe - Id) et Ker (çe + IrI) sont supplémentaires c) En déduire que Ker Exercice3 On considèreune suite (X,),>r de variables aléatoiresdéfinies sur le même espaceprobabilisé de et (e, A,P), mutuellementindépendantes, qui suiventtoutesla loi exponentielle paramètre1. n S Onpose n: Z Xr. de et I'espérance la variance S,. Donner quelleestla loi suiviepar^S,. l) Rappeler < établirq"" de 2) À l'aide du théorème la limitecentrée, ,l]*P(S, ù: r e 3) End é d u i rIava l e ud e l i m rl io ," -',,r

Temps d’attente entre 2 trains en gare de Fontenay-sous-Bois Dans cette partie, on s’int´resse au temps d’attente entre 2 trains. Soit Yi le i-`me temps d’attente. e e On suppose que les Yi sont ind´pendantes et identiquement distribu´es de loi exponentielle de e e param`tre a. On rappelle que sisi Y ∼ E(a) alors sa densit´ vaut : fY (x) = ae−ax si x > 0, 0 sinon. e e 2. On note y1 , . . . , yn les temps d’attente mesur´s en heures. Montrer que la log-vraisemblance e des observations vaut : n ￿ ￿(y1

CONCOURS D’ADMISSION A L’ESM DE SAINT-CYR EN 1992 MATHÉMATIQUES I Options M, P, T, TA Durée : 3 heures Calculatrice interdite Dans l’appréciation des copies, il sera tenu compte de la rigueur des raisonnements, de la précision de la rédaction, ainsi que de la présentation. Le candidat pourra, à condition de l’indiquer clairement, admettre un résultat afin de traiter les questions suivantes. Les copies mal rédigées ou mal présentées le sont au risques et périls du candidat. La formule de

Tests d’ajustement et d’indépendance. 5 6 I.2 Simulation de variables de loi connue  I.2.1 Méthodes générales  Anamorphose  Théorème:  Si X de loi F, alors F(X) uniforme sur [0;1]  F-1(R) est de distribution F Exemple: loi exponentielle F(x)= 1-exp(-cx) X=-ln(1-R)/c ou X=-ln(R)/c 7  Méthode du rejet (Von Neumann)  X à support borné. On prendra 0

Méthodes: VaR historique : quantile de l'échantillon encore faut il avoir suffisamment de données …. Modélisations/Estimation paramétriques VaR normale, pb: ne tient pas compte des queues épaisses distributions à queues épaisses: t-student, exponentielle, hyperbolique, … Modélisations/Estimation non paramétriques estimation des exposants de queues Approximations (Cornish Fisher): mieux que la VaR normale, mais pb de validité de l'approximation Théorie des valeurs extrêmes (Frechet, Gumbel

} { { ) } ) ( ) ( ) ) ( )(( ( ) ) ) ( ) Formulaire des lois de probabilités continues usuelles Lois de probabilités Notation Cadre Densité de probabilité ( ) Loi Uniforme Loi Exponentielle Loi Normale ou Gaussienne ( ) ( ( ( ) [ { ( ) ] ( ( ) { ( ) ) { - Temps d’attente entre l’arrivée de deux clients à une caisse. - Durée de vie d’un composant électronique. ) La loi normale

Détails des modèles calculatoires appliqués aux retours d’expériences : • Loi exponentielle : Elle correspond à une variable aléatoire X représentant la durée de vie d’un phénomène nous permettant ici de modéliser la durée de vie d’un composant électronique. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre lambda : • Loi de Weibull : Utilisée dans l’analyse de durée de vie, elle utile dans la compréhension du taux de panne et nous donne la possibilité de savoir si ce taux est constant

répartition / fonction densité 3) Variables aléatoires continues Espérance 32 3) Variables aléatoires continues Variance 33 3) Variables aléatoires continues Loi uniforme 34 3) Variables aléatoires continues Loi exponentielle 35 Loi exponentielle 3) Variables aléatoires continues Loi normale 36 Loi Normale Fonction densité 3) Variables aléatoires continues Loi normale 37 3) Variables aléatoires continues Loi normale 38 Loi Normale Centrée Réduite

des centres d’appels t´l´phoniques, le processus de ee Poisson et la loi exponentielle sont bien adapt´s pour mod´liser respectivement le processus d’arriv´e e e e des clients et le temps de service. Quelles limites voyez-vous ` cette mod´lisation ? On supposera a e par la suite que : – le processus d’arriv´e est poissonnien de taux λi dans la tranche i (i = 9h − 9h30, 9h30 − e 10h, · · · ) – le temps de service est exponentiel de taux µi dans la tranche i 1 Question 2. A partir des donn´es observ´es