Décomposition

. . . . . . . . . 3.13.1 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.2 Élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.3 Élimination de Gauss avec recherche de pivot partiel 3.13.4 Décomposition LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.5 Décomposition LU et élimination de Gauss . . . . . 3.13.6 Méthode de Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.7 Factorisation de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.8 Conditionnement d’un système . . . . .

Régression linéaire et non linéaire Mark Asch Septembre 2010 TADE - EDSS, UPJV 2010-11 1 1.1 Régression linéaire La droite de moindres carrés Le problème suivant est souvent rencontré dans tous les domaines où des mathématiques sont appliquées. Pour des points discrets ti (souvent des instants de temps), des observations bi d’un phénomène quelconque sont faites, et les résultats sont enrégistrés comme un ensemble de couples D = {(t1 , b1 ), (t2 , b2 ), ..., (tm , bm )} . Sur la

I. El Hage www.les-mathematiques.net 1 Extensions simples 1 Extensions simples Définition Une extension E de K est simple si, et seulement si, il existe a que E K a . L’importance des extensions simples provient du fait que leurs structures peuvent être parfaitement déterminées d’une part et que la majorité des extensions que nous allons rencontrer sont en réalité des extensions simples. Nous allons déterminer la structure d’une extension simple. Démonstration Soit σ; K X E l’application

eig hess schur fonction elliptique de Jacobi logarithme base 2 ou décomposition mantisse, exposant calcule 2 puissance y inversion décomposition LU réduction de lignes factorisation de Cholesky décomposition QR moindres carrés non-négatif moindres carrés avec covariance connue noyau orthogonalisation valeurs et vecteurs propres forme de Hessenberg décomposition de Schur expint fonction intégrale exponentielle pour n=1 Décompositions et factorisations de Matrices cdf2rdf forme complexe diagonale

La décomposition descriptive dans La Jalousie d’Alain Robbe-Grillet | | |Sur le mur d'en face, le mille-pattes est là, à son emplacement marqué, au beau milieu du panneau. | |Il s'est arrêté, petit trait obliqué long de dix centimètres, juste à la hauteur du regard, à mi-chemin entre l'arête de la | |plinthe (au seuil du couloir) et le

dépendent d'une analyse qui s'effectue sur les valeurs propres. Avant de les présenter, il nous semble utile de rappeler une technique similaire à I' ACP et largernent utilisée en algèbre linéaire, qui porte sur la décomposition en valeurs singulières, notée S VI) pour Singular Value Decomposition [CICHOKI 931. Cette technique, très utile dans les problèmes de résolution de systèmes Iinéaires, a été mentionnée dans le chapitre précédent comme outil de calcul des leviers pour des modèles non Iinéaires. une

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

4(shu)3 3shu . u Argshx , x R b) Tout le monde sait que : x shu , u R c) Il vient : f ( x) 4. EXERCICE 2. P1 D et P1A et B 1 Décomposition en éléments simples de f ( x) ( x 3) 2 . x 1 x2 2x 5 bx c x 2 Argsh (3x 4x3 ) Argsh (3shu 4(shu)3 ) Argsh (sh(3u)) 3u On peut donc conclure que f ( x) 3u 3 Argshx . On retrouve le résultat due 2. d). Forme de la décomposition : f ( x) E ( x) 0 ) avec E(x)=0. a x 1 car x 2 2 x 5 est non factorisable ( 2x 5 Détermination de a : x=-1 : a =

Factorisez x4 x3 x4 3 sur x3 x + 1 x + 1 dans R[X] b) Donnez la décomposition en éléments simples de x4 3 . x3 x + 1 1 1 et de sur ]1; +1[. (x 1)2 x 1 ✓ ◆ x+1 1 2x + 1 1 d) En remarquant que 2 = + et en utilisant les techx +x+1 2 x2 + x + 1 x2 + x + 1 x+1 niques de calculs expliquées ci-dessus, calculez une primitive de 2 x +x+1 c) Calculez une primitive de 4x + 2 . 2x5 + 3x4 + 2x3 + x2 4x + 2 b) Utilisez cette décomposition en éléments simples pour calculer une primitive de 5 2x + 3x4 + 2x3

Laboratoire d’Informatique de Paris 6 23 Massih-Reza.Amini@lip6.fr Laboratoire d’Informatique de Paris 6 24 Représentation plus riche: Latent Semantic Indexing Décomposition de la matrice des données en valeurs et vecteurs singuliers Matrice Σ des valeurs singulières t Le LSI est la décomposition en valeurs singulières d’une matrice terme-document X = U.Σ.V t X t1 t2 d2 t3 d3 t4 Termes Documents t4 t3 d1 t1 t2 U Σ V d1 d2 d3 Vecteur singulier V des termes Vecteur