Décomposition

Après l'empire : essai sur la décomposition du système américain J’ai choisi de lire Après l’empire, essai sur la décomposition du système américain d’Emmanuel TODD certainement à cause de géopolitique récente et plus particulièrement des Etats-Unis. Examiner le réaménagement du rapport de l’Amérique au monde. Question de la démocratisation générale de la planète Le monde est vaste, forces diverses, dynamiques inverses Il n'y aura pas d'empire américain. Le monde est trop vaste

. . . . . . . 2.3.4 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Eléments propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Décomposition en valeurs singulières (DVS) 2.5 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Norme d’un matrice . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Approximation d’une matrice . . . . . . . . 3 5 5 5 5 6 6 7 8 8 8 9 9 9 10 11 11 11 12 13 13 14 17

= ax 3 + (b − a)x 2 + (c − b)x − c =1 = −2 =3 = −2 =1 b = −1     c =2 Conclusion : pour tout x de R, f (x) = (x − 1)(x 2 − x + 2). 1 ¡ Niveau : première Fiche méthode : méthode par identification des coefficients F. Demoulin 3.2 Décomposition d’une fraction rationnelle 2x 2 + 7x + 8 . x +2 Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R − {−2}, on ait : f (x) = ax + b + Soit f la fonction définie sur R − {−2} par f (x) = Réponse : pour tout x de R − {−2} : c x +2 (ax + b)(x

Gershgorin. Une matrice diagonale d'ordre n possède de manière naturelle des colonnes propres qui sont les matrices des coordonnées de n vecteurs orthonormés et ses coefficients diagonaux sont exactement les valeurs propres associées. Voir aussi la décomposition en valeurs singulières, d'après laquelle toute matrice est unitairement équivalente à une matrice diagonale positive bordée par zéros. Pge p 

propres associés de la Les méthodes numériques permettant d’effectuer ce calcul sont nombreuses dans la littérature [Press, 1992], [Korn, 1961] ; une méthode robuste est fondée sur l’utilisation de l’algorithme de décomposition en valeurs singulières (ou SVD pour « Singular Value Decomposition ») [Press, 1992] ; c’est celle que nous utilisons ici. On recherche la matrice D telle que : D = P −1 ⋅ C ⋅ P Eq. 2 λ1  où D est la matrice diagonale des valeurs propres D =  0 0   ainsi l’inverse

MPSI/PCSI/ESC Intégration SUP/ESC 1. Méthodes d’intégration 1-1 : Intégrale immédiate 1-2 : Somme ou différence de fonctions 1-3 : Composée de fonction 1-4 : Décomposition en fractions rationnelles 1-5 : Par substitution (changement de variable) 1-6 : Réductions à des formes particulières 1-7 : Intégration par parties 1-8 : Décomposition en série 2. Intégration numérique 2-1 : Méthode des rectangles 2-2 : Méthode des trapèzes 2-3 : Méthode de Simpson 3. Diverses questions 3-1 : Introduction à la

d'une fraction rationnelle : Q . On procède par étapes ; -1er Etape : Si deg(P ) ≥ deg(Q) ; on fait d'abord une division Euclidiènne ona :P = E.Q + R R(x) P (x) Donc on a : Q(x) = E(x) + Q(x) ; avec ; deg(R) < deg(Q) -2eme Etape : On fait la décomposition en éléments simples dans et donc Exemple 1 : Calculer R[x] de R(x) Q(x) . I= x−1 x3 +4x Dans cet exemple on passe diréctement a la deuxième étape : f (x) = Calcule de x−1 x−1 a bx + c = = + 2 3 + 4x 2 + 4) x x(x

par exemple) ou encore découvrir de nouvelles formules(Grassmann pour ne citer que lui). Les modélisations matricielles sont de nos jours toujours utiliser. En effet de tels modélisations permettent par exemple de séparer le bruit d'une image (décomposition en valeurs singulières), de repérer les caractéristiques d'un code génétique (analyse en composantes principales), de créer des environnements 2D et 3D. Propriétés, définition Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes

La factorisation des polynômes de degré 3 Pour factoriser un polynôme de degré 3 P(x), il faut : 1) déterminer un nombre k tel que P(k) = 0 2) diviser P(x) par (x – k) 3) utiliser le quotient de la division pour écrire le facteur trinôme 4) factoriser le trinôme si possible Voici un exemple : Factorise P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 1) P(1) = 0 2) Donc il faut diviser P(x) par (x –1). La division synthétique est utile pour

COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e Les limites Limite des polynˆmes o Ce cours porte exclusivement sur la notion de limite quand x tend vers ∞, relative aux polynˆmes et aux fractions rationnelles. o 1 L’id´e g´n´rale e e e Intuitivement, dire que la fonction f a pour limite au point a signifie que lorsque x devient de plus en plus proche de a, f (x) devient de plus en plus proche de . On peut mˆme ´crire que : e e − ξ ≤ f (x) ≤ + ξ, aussi petit que