Décomposition

nombres. Quelques noms Euclide d’Alexandrie Leonhard EULER Christian GOLDBACH Pierre de FERMAT Stéphan BOUSQUET Table des matières 1 OUTILS DE BASE 4 1.1 Les sous-entendus dans la notation 4 1.2 Diviseurs 4 1.3 Nombres premiers 4 1.4 Décomposition en produit de facteurs premiers 4 1.5 Notation décimale 4 1.6 Notation Fractionnaire 4 1.7 Notation ingénieure 4 1.8 Notation scientifique 4 1.9 Notation logarithmique 4 1.10 Plus petit commun multiple (ang. lcm) 5 1.11 Plus grand commun diviseur

entier en produit de facteurs premiers, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers distincts. Exemples : 105 = 3 × 5 × 7. 3 × 5 × 7 est la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 105. 99 = 9 × 11 = 32 × 11 600 = 8 × 3 × 25 = 23 × 3 × 52 23 × 3 × 52 est la décomposition en produit de facteurs premiers de 600. Les facteurs premiers sont 2, 3 et 5 affectés des exposants 3, 1 et 2. EXERCICE 1 - COMMENT RECONNAÎTRE UN NOMBRE PREMIER ? 1. Le nombre

4/ 6 Troisième Exercice 19 ◮1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser quand il s’agit d’un nombre premier : 173 ; 1 900 ; 600 ; 650 ; 344 ; ◮2. En déduire le PGCD et le PPCM des nombres 600 et 1 900. ◮3. Quel est le plus petit nombre par lequel il faut multiplier 344 pour obtenir un carré parfait ? 600 irréductible. ◮4. Rendre la fraction 1 900 37 7 + . ◮5. Calculer 600 1 900 Exercice 20 ◮1. Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants

nul produit de deux nombres entiers différents de un est dit composé. Par exemple, 8=2x4 est composé alors que 11=1x11 est premier. 1 n'est pas premier par convention. La reconnaissance des nombres premiers et des nombres composés avec leur décomposition en facteurs premiers est connue pour être des plus importantes et utiles en arithmétique. En effet, les nombres premiers sont les atomes mêmes de l'arithmétique. Ce sont les nombres indivisibles qu'il est impossible de décomposer sous la forme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le lemme de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plus petit commun multiple ou ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décomposition d'un entier en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Groupes nis 2.1 2.2 2.3 Les groupes quotients 31 Z/nZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

> a est non premier avec p : cad qu’ils ont un diviseur commun différent de 1. Mais p étant premier, ce diviseur commun est forcément p ! Donc p divise a et même p divise a p donc on a bien a p ≡ a ( p ) (car congrus à 0 tous les deux). 3. La décomposition de 42 en produit de facteurs premiers est 42 = 2 × 3 × 7 : nous allons prouver que chacun de ces termes divise a 7 − a puis nous allons utiliser une conséquence du théorème de Gauss : (P) : « si (b|n et c |n avec pgcd(b ,c) = 1) alors bc | n »

complexe i. Instructions associées aux complexes: evalc(…); Re(…); Im(…); abs(…); argument(…); Forme trigonométrique: polar(2,Pi/4); convert(3–I*4,polar); Arithmétique: Reste dans la division euclidienne: 22 mod 4; Pgcd, ppcm: igcd(…); ilcm(…); Décomposition en facteurs premiers: ifactor(12); (résultat: (22)( 3)) Nombres premiers: isprime(12); (réponse: false) ; ième nombre premier: ithprime(3); Polynômes: Evaluation: P:= x+1; eval(P,x=2); Factorisation: factor(x^3 – y^3); Simplification: simplify(…);

premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposition). http://prof.pantaloni.free.fr V ERSION DU 9 MARS 2012 TOUTES LES R.O.C. DU BAC S 2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629. Exercice no 13 Restitution organisée de connaissances (La Réunion juin 2011) Soient A, B deux points du plan d’affixes respectives a et b. On rappelle

99 100 Consigne 6 : reconnaitre un nombre premier 1) Justifie que 143 n’est pas un nombre premier 2) Justifie que 163 est un nombre premier 3) Lequel de ces deux nombres est décomposable en un produit de facteur premier ? Consigne 7 : décomposition d’un nombre Décompose en produit de facteur premier les nombres suivant : 90 ; 45 ; 120 ; 95 ; 125 ; 160. Consigne 8 : puissance d’un nombre entier naturel. Décompose les nombres 8 et 81 en produit de facteur premier. Calcul l’aire A

de −7 (ou de 7) étant {−7 ; −1 ; 1 ; 7}, on en déduit que n + 1 divise 3n − 4 si et seulement si n + 1 appartient à {−7 ; −1 ; 1 ; 7} soit n appartient à {−8 ; −2 ; 0 ; 6}. Exercice 3 : Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en utilisant l’algorithme d’Euclide. Correction Avec l’aide de Maple on a immédiatement : > ifactor(1640); ifactor(492); ( 2 ) 3 ( 5 ) ( 41 ) ( 2 ) 2 ( 3 ) ( 41 ) et le PGCD : 22.41 = 164 . Avec Euclide :