Décomposition

´ Exercices - Residus - Application au calcul ´ d’integrales : ´nonc´ e e Exercice 1 - Calculs de r´sidus - L3/M1 e Calculer les r´sidus aux singularit´s isol´es des fonctions suivantes : e e e f (z) = z2 + z + 1 , z(z 2 + 1)2 g(z) = za , 1−z h(z) = log(z). sin 1 . z−1 On prendra la d´termination principale des fonctions z → z a et z → log(z). e Exercice 2 - Fraction rationnelle - L3/M1 +∞ dx e 1. Soit n ≥ 2 entier. Calculer I = 0 1+xn . On pourra int´grer sur le bord du compact iθ ; 0 ≤

LA PHOTOGRAPHIE : Décomposition du mouvement, Edward Muybridge Introduction et biographie d' Edward Muybridge 1877 : La première étape de la photographie pour décomposer des mouvement : Muybridge. Eadweard Muybridge, photographe américain d'origine anglaise, célèbre pour ses décompositions photographiques du mouvement, et son célèbre cliché « le galop de Daisy ». Né Edward James Muggeridge, à Kingston upon Thames, dans la banlieue de Londres le 9 avril 1830, mort le 8 mai 1904, il a changé

£  ¢¡ Lycée Charlemagne   Lundi 24 janvier ¨ ©Année   ¡ 0 0 a2 1 0 0 0 0 a3 1 2010/11 I.S.14 I.S.14 MPSI2 £ ¢ 1 1 1 0 a1 1 1 0 a2 ALGÈBRE 2010/11 1 0 0 0 a4 1 0 0 1 1 0 1 a1 1 a1 0 0 1 1 et 1 1 a2 0 1 0 1 0 1 0 1 a3 formule pour le terme général de la matrice de taille Calculez les déterminants des matrices suivantes : 1 1 1 a1 , , . mule que vous conjecturez pour le déterminant de la demande juste la formule, pas une démonstration (bon sang

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫

NOM : Prénom : NOTE : / 20 Mathématiques TERMINALE S Contrôle de leçon : bases de 1ere S sur limites de fonctions (Calculatrice autorisée) 1) Compréhension et pratique de base : a) f est la fonction √ Objectif : Déterminer toutes les études de limites envisageables pour cette fonction et trouver les réponses à ces études. Consigne : On ne donnera aucune justification mais on remplira un tableau donnant, d’une part, la condition d’étude choisie et d’autre part la réponse à cette étude

Transformation de Laplace ------------------------------------------------- Pierre-Simon de Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge et mort le 5 mars 1827 à Paris, est un mathématicien, astronome et physicien français. En complément de son travail reconnu sur l’étude des équations différentielles, il a contribué notamment à la théorie des probabilités et à l’évolution de la mécanique céleste. ------------------------------------------------- Pierre-Simon de Laplace, né le 23 mars

un tel que : p≤ a 5.1 Décomposition en facteurs premiers Soit a un entier positif tel que a≥2. • n se décompose en produit de facteurs premiers • Cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs α On note p = p1 1 ⋅ p α 2 ⋅ ... ⋅ p α n , où p1 , p2 , …, pn sont des nombres premiers 2 n distincts et α 1 , α 2 , …, αn des entiers naturels non nuls. Théorème 5.2 Propriétés • Un nombre entier naturel est un carré parfait ⇔ dans sa décomposition en facteurs premiers, les nombres

28 et 35 le nombre de diviseurs est de: 5x2x2= 20Cas général si on considère N un entier dont la décomposition en produit de facteurs premiersN= P1α1 x P2α2 x P3α3 x…. pnαn Le nombre de diviseurs de N est : (α1+1)(α2+1)(α3+1) 1= indice au dessous4) PPCM (a,b) Définition Le PPCM à 2 nombres entiers « a » et « b » est le plus petit nombre se trouvant à la fois dans la liste des multiples de « a » et dans celles des multiples de « b » PPCM (24,60)= ? Liste des multiples de 24, liste des multiples

2 × 11 = 5 et 5 n’est pas le PGCD(9 ;11) 4) Décomposition en facteurs premiers du PGCD de deux entiers naturels non nuls : Une autre façon de déterminer le PGCD de a et de b est de déterminer sa décomposition en facteurs premiers à partir des décompositions de a et de b. Exemple : a= 5664 = 2 5 x3x59 b=984 = 2 3 x3x 41 PGCD(a ;b) = 24 = 2 3 x3 On constate que le PGCD (a ;b) contient les facteurs premiers 2 et 3 qui sont communs aux deux décompositions avec pour exposant le plus petit des deux exposants

au moins égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs premiers I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs Définition Soit a et b des entiers relatifs. Lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb on dit que : • a est un multiple de b ; • b divise a ;