Dérivée partielle

voir chapitre 3 : second degré. 1 1ère STMG Cours II. Fonction dérivée : Définition : Soit f une fonction du second degré définie par f (x) = ax2 + bx + c. On appelle fonction dérivée de f, notée f ’, la fonction définie sur ℝ par f ’(x) = 2ax + b. Exemple : Soit f définie sur ℝ par f (x) = 7x2 – 6x + 15. Les paramètres sont a = 7, b = –6 et c = 15. Comme a ≠ 0, f est bien une fonction du second degré. Sa dérivée a pour expression f ’(x) = 2×7x + (-6) = 14x – 6. Le paramètre c n’apparait

oblique : Y = Mx + P Équation pour trouver M : M = lim f(x) h Équation pour trouver P : P = lim f(x) – m(x) Chapitre 9 : Les dérivées. Le taux d'accroissement de f en x est le quotient définis par TA f(Xo) = f ( Xo + h ) - ( f(Xo) ) h Une fonction f est dérivable en Xo si le taux d’accroissement de f en Xo admet une limite réelle lorsque l'accroissement tend

dérivabilité Exercice 12 : Les fonctions et définies par : ( ) | | ( ) ( ) (√| |) Sont-elles dérivables en ? Allez à : Correction exercice 12 : Exercice 13 : Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer la dérivée lorsqu’elle existe : ( ) ( ( )) si 1. ( ) ( ) si 2. 3. ( ) { ( ) Allez à : Correction exercice 13 : Exercice 14 : Soit et deux nombres réels. On définit la fonction par { 1. Donner une condition sur pour que soit continue

TP GEOGEBRA A : TP Il s’agit de visualiser ce qui se passe lorsqu’on considère le taux d’accroissement de f(x) autour de a et qu’on fait varier h. 2 x 1. Construire la courbe (C) d’équation y  x 2   2 = f(x), en bleu. 9 3 2. Placer le point A de cette courbe d’abscisse 2 3. Créer un curseur que vous nommez h, dont les valeurs varient de -5 à 5, incrément 0,01. 4. Placer le point M de cette courbe d’abscisse 2+h 5. Tracer la droite (AM), en pointillé. f(2  h)  f(2) 6. Calculer la valeur de t

fonction objectif, on ajoute à la fonction coût la fonction de contrainte, multipliée par un Page 2 coefficient λ indéterminé : L = ∑ Ci(Pi) + λ ( ∑ PL + pertes - ∑ Pi ) (10) L’équation (10) qui est la fonction de Lagrange est minimisée lorsque la dérivée première par rapport à chaque variable indépendante est annulée. On a donc pour chaque production Pi la condition d’optimalité suivante : λ. –λ=0 (11) Donc λ= Le facteur 1 /( (12) ) est appelé facteur de pénalité. L’optimum économique est obtenu

I. Taux d'accroissement Activité 1 : Un point mobile M se déplace sur un axe. La distance parcourue par ce point à l'instant t est donnée par d (t)=t 2 . L'origine est t 0=0 . a) Calculer la vitesse moyenne du point M entre les instants 1 et 2 ; 2 et 3 ; 2 et 2,1 ; 1,9 et 2. b) Comment pourrait-on définir une vitesse instantanée à l'instant t=2 ? Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h des réels de I, h≠0 . f (a+ h)− f (a) Le taux d'accroissement de f ente a et a+h

Classes de 1°S Exercices corrigés Fonctions 1. Généralités 1-1 : Comme une interro… 1-2 : Lecture graphique et interprétation 1-3 : Construction géométrique parabole 1-4 : Vrai/Faux sur les fonctions 1-5 : Vrai/Faux sur les dérivées 1-6 : Dérivées et variations 1-7 : Lecture graphique 1-8 : Tangente 2. Polynômes 2-9 : Second degré 1 (c) 2-10 : Second degré 2 (c) 2-11 : Second degré 3 (c) 2-12 : 3ème degré 3 (c) 2-13 : Ficelle (c) 3. Fonctions rationnelles 3-14 : Hyperbole 1 (c) 3-15 : Tangente

si elle est dérivable en chaque point de Ι. Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x. • Les fonctions polynômes et les fonctions exponentielles sont dérivables sur R. • La fonction logarithme népérien, la fonction racine carrée et les fonctions x ↦ xα (avec α > 0) sont dérivables sur ]0 ; +∞[. A retenir sur le fascicule de TD • Les dérivées des fonctions usuelles et leurs domaines de validité. • Les formules de

coefficient directeur 1, donc f’(1) = 1 Or ? ! 1 = 1   ⟺ 3? − 2? = 1 ⟺ ? = 1. Donc ? ? = ?? − ?? − ?  ?? ?! ? = ??? − ??. 2. ? ? = ? ! − ? ! − 1  et ? ! ? = 3? ! − 2? = ?(3? − 2) Sens de variation : !   ? ! ? = ?(3? − 2), les valeurs qui annulent la dérivée sont 0 et ! , on retrouve les renseignements 1 et 3. Donc ? ! ? est positive à l’extérieur des racines. 2 ? ! ? > 0  si  ? ∈ I = −∞; 0  et  si  ? ∈ J = ; +∞ 3 f est monotone croissante sur I et sur J 2 ? ! ? < 0  si  ? ∈ K = 0; 3 f est monotone décroissante

définie sur I telle que F ’ = f sur I. Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = 3x2 + cos x. Mentalement on reconnaît la dérivée de la fonction x ! x 3 + sin x . En posant F(x) = x 3 + sin x , on a bien : ! x " !, F '(x) = 3x 2 + cos x = f (x) . Donc F est bien une primitive de f sur ! . Remarque : si l’on choisit F(x) = x 3 + sin x + 11 , la dérivée d’une fonction constante étant nulle, F est aussi une primitive de f. D’où le théorème suivant : Théorème : Si f admet une primitive