Dérivée partielle

+∞, soit -∞. Si lim f(x) = b et lim g(y) = l , alors lim g o f(x) = l . x→a y→b x→a Continuité Limites obtenues par la dérivée f est continue en x0, si lim f(x) = f(x0) c'est-à-dire si lim f(x0 + h) = f(x0) x→x0 Si f est une fonction dérivable en x0 alors : f(x0 + h) - f(x0) f(x) - f(x0) lim = f'(x0) ou encore lim = f'(x0). h→0 x→x0 h x - x0 Nombre dérivé - Fonction dérivée - Tangente Limites usuelles La limite d'une fonction polynôme en +∞ ou en -∞ est la limite de son terme de plus haut degré

et Morgenstern (1947) définissent ce qui a été convenu d’appeler la fonction d’utilité Von Neumann-Morgenstern (VNM) : une telle fonction d’utilité respectant ces axiomes de comportement est une fonction croissante de la richesse de l’individu. Sa dérivée première est alors positive : Ensuite, Von Neumann et Morgenstern élaborent le théorème de l’utilité espérée : confronté à un ensemble de lignes d’actions aux résultats aléatoires ou de manière plus générale à un ensemble de loteries, un individu

Fonctions de référence Ces exercices sont proposés pour un travail en autonomie. Les exercices 1 à 8 peuvent être traités dès à présents. Rappels sur les fonctions affines Exercice 1 : Parmi les fonctions suivantes, reconnaître les fonctions affines, donner leur coefficient directeur m et leur sens de variations. 5 1. f (x) = 2 − x 3 4 3 (x − 1) − 3 2. g (x) = 3 5 2x 2x + 1 4. k(x) = 3 5. m(x) = − 3. h(x) = 3x 2 6. n(x) = x 2 − (x − 1)2 Exercice 2 : Déterminer

Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 Soit f  la fonction définie sur ℝ par  f  x = −x 2−3 x1 . 3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . 2­ Soit Cf  la courbe représentative de f. a) Calculer les coordonnées du point A d'abscisse 1 de Cf. b) Déterminer une équation de la droite T tangente à Cf  en A. 3­ Etudier la position relative de la courbe Cf  et de la droite T. (en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x))

repère, noté A sur l'animation, à pour coordonnée (xA = O m; yA = O m). Le vecteur position du système est: 2) le vecteur vitesse Dans un référentiel donné, le vecteur vitesse instantanée à l'instant t d'un point M du système, noté , est égale à la dérivée du vecteur position par rapport au temps: vx et vy sont les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère cartésien orthonormé R. Unité légale: le mètre par seconde (m.s-1). Le vecteur vitesse moyenne est égale à la variation du vecteur position

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 7 7 3 Compléments sur la fonction exponentielle 3.1 Dérivée de la fonction eu . . . . . . . . . 3.2 Exemples types . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Fonctions d’atténuation . . . . . 3.2.2 Chute d’un corps dans un fluide 3.2.3 Fonctions gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x'(t0) est la vitesse instantanée du point mobile à l'instant t0. Remarque : Il ne faut pas confondre avec la vitesse moyenne entre t0 et t1 qui est . II. Fonction dérivée 1. Définition La fonction dérivée est la fonction f ' : x f '(x). Remarque : il ne faut pas confondre le nombre dérivé f '(x) et la fonction dérivée f ' (comme il ne faut pas confondre f (x) et f). 2. Propriétés Si u et v sont deux fonctions dérivables sur le même ensemble D, alors les fonctions suivantes sont dérivables

Correction [000738] Exercice 12 On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e1/t 0 si t < 0 si t ≥ 0 1. Démontrer que f est dérivable sur R, en particulier en t = 0. 2. Etudier l’existence de f (0). 3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit f (n) (t) = où Pn est un polynôme. (a) Trouver P1 et P2 . (b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1 , Pn et Pn pour n ∈ N∗ . 4. Montrer que f est de classe C∞ . Correction [000740] Pn (t) 1/t e t 2n Retrouver cette

INTRODUCTION Le mouvement d’un pendule simple est un mouvement pseudopériodique. Le pendule simple parfait est défini comme suit : une boule de masse M et de rayon R accroché à un fil de masse m et de longueur l. Si on tire la masse M jusqu’au point B en formant l’angle θ0 et on la laisse, la pendule commence un mouvement oscillatoire. A la fin de ce TP, nous déterminerons la gravité terrestre «g». PARTIE THEORIQUE 1-Donnons l’équation différentielle dans le cas du pendule simple réel :

Fiche 3 : Exponentielles, logarithmes I - Fonction exponentielle népérienne Théorème et définition Il existe une unique fonction f dérivable sur telle que : f’ = f et f(0) = 1 On la nomme fonction exponentielle népérienne et on la note exp. Propriétés immédiates La fonction exp est strictement positive sur R. La fonction exp est dérivable sur et : exp’(x) = exp(x) pour tout x réel. La fonction exp est strictement croissante sur R. Le nombre e. Notation xe On désigne le réel exp(1) par