Dérivée partielle

la courbe C au point A d'abscisse a. Équation de la tangente : y = f(a) + f' (a) (x – a) B] Fonction dérivée : Définition On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable en tout point de cet intervalle. Fonction f Fonction dérivée f’ définie sur (constante) ]0 ;+∞[ Fonction Fonction dérivée III] Etudes de fonctions A] Fonctions polynômes B] Fonctions rationnelles C] Fonctions irrationnelles

Extrait : planche « accélération, nouveau rythme des temps » ( Pourquoi des temps A – le temps physique : Est le sens commun/propre habituel et surtout admis de tous car perceptible Les interactions de la matière dans son espace (les phénomènes physiques) nécessitent un degré de liberté (la dimension d’espace) qui est le temps Relevant de phénomènes physiques dans un espace/une dimension, on parle de temps physique ; Ce degré de liberté (le temps) est figuré par une dimension d’espace

MOYENNES 1. Moyennes : premières formules Moyenne arithmétique simple x de n éléments x1, x2, ... , xn–1, xn Moyenne arithmétique pondérée x de n éléments x1, x2, ... , xn–1, xn munis des coefficients p1, p2, ... , pn–1, pn Exemples : Une élève de 1ère ES a obtenu les notes suivantes : 12 ; 15 ; 9 ; 17 ; 12 ; 6 ; 13. Calculer n et la moyenne À . x Il y a 7 notes, donc n = 7 et : x= 12 + 15 + 9 + 17 + 12 + 6 + 13 84 = = 12 7 7 x1 + x2 +...+ xn -1 + xn n x= x= p1 x1 + p2 x2 +...+ pn -1

mathématiques n°3 Exercice 1 (exponentielle, bac S, Antilles Guyane, juin 2008, 8 points) Soit la fonction définie sur R par = −3 . 1. 2. 3. 4. Démontrer que l’on a pour tout : =3 − . Déterminer la limite de en +∞ puis la limite de et −∞. Calculer la dérivée de et étudier les variations de . Calculer 1 . Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de des axes du repère. 5. Tracer l’allure de la courbe de . 6. Démontrer que est solution de l’équation différentielle + 2 = 3 . et

lim be−0,04t = 0 et donc t →+∞ t →+∞ lim h(t ) = a = 2 . – De plus h(0) = 0, 1. a 2 Or h(0) = soit 0, 1 = d’où b = 19 . 1+b 1+b On obtient donc h(t ) = Partie 2 2 . 1 + 19e−0,04t 1. f (t ) = 1, 52e−0,04t 1 + 19e−0,04t 2 . La dérivée de f est donc strictement positive sur [0 ;250] et donc f est strictement croissante sur cet intervalle. 2 2. On cherche alors à résoudre l’inéquation f (t ) > 1, 5 soit > 1, 5. 1 + 19e−0,04t 1 On obtient 0, 5 > 28, 5e−0,04t ⇐⇒ > e−0,04t . 57 La fonction

évaluer l'errreur maximum commise dans l'intervalle étudié. Exemples : C) Fonctions dérivées 1) Définition Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout point de I, on dit qu'elle est dérivable sur I et on appelle dérivée, ou fonction dérivée de f, et on note f', la fonction qui à tout x∈ I associe f'(x), nombre dérivé de f en x. Exemple f(x) = x² est dérivable sur ℝ et sa dérivée est f'(x) = 2x ah −a a2 2ahh2 −a2 2ahh2 = = =2ah h h h Or lim  2ah=2a ,

égal à -3h-10 2) Calculer la limite de ce taux d'accroissement lorsque h tend vers 0 3) En déduire la valeur de f '(2) Exercice 2 : On considère la fonction f ' de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 4x / x² + 1 1) Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f. 2) Etudier le signe de f '(x). Donner alors le tableau de variation de la fonction f sur ] -10 ; 10 [ 3) Déterminer une équation de la tangente TA à Cf au point A d'abscisse 0. Exercice 3 : Dans le Périgord, un producteur

- 1 correspond au nombre dérivé de la fonction cosinus en a = 0. h →0 h Propriété (voir démonstration 07) La fonction sinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (sin x )' = cos x La fonction cosinus est dérivable sur IR et sa dérivée est : (cos x )' = - sin x Exercice 02 (voir réponses et correction) Calculer les dérivées des fonctions suivantes, en précisant l'ensemble de dérivabilité : f(x) = 3 sin x - 5 cos x ; g(x) = sin2 x ; h(x) = sin x ; tan(x) = sin x x cos x Tableaux

autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine. En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courEn physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage

bac sur la fonction ln Exercice 1 ( Pondichéry 2011) ( 5 points) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 8] par f (x) = 30 ln(x) + 10 − 10x. 1. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [1 ; 8] et on note f ′ sa fonction dérivée. Montrer 30 − 10x que, pour tout réel x de l’intervalle [1 ; 8], f ′ (x) = . x 2. Étudier le signe de f ′ (x) sur l’intervalle [1 ; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction f . 3. (Recopier et) compléter le tableau de valeurs suivant