Dérivée partielle

népérien et g la fonction composée ln( f ). 2. Quel est l’ensemble de définition de la fonction g , noté Dg ? 5 a. ]0 ; [ b. [−5 ; 2] c. [−5 ; 2[ 2 3. Quelle est la valeur de g (0) ? a. g (0) = 2 b. g (0) = 0 c. g (0) = ln(2) 4. On note g ′ la fonction dérivée de la fonction g . Quelle est la valeur de g ′ (1) ? 1 a. g ′ (1) = e b. g ′ (1) = 0 c. g ′ (1) = − 2 e 5. Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers 2 ? a. lim g (x) = −∞ b. lim g (x) = 0 c. lim g (x) = +∞ x→2 x→2 x→2 Partie B : chaque réponse

Chapitre 3 Dérivées et primitives I- Rappels sur la dérivation 1) Nombre dérivé Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I , et a un nombre de I . f a  h   f a  admet h une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est alors notée f ' a  , et appelée le nombre dérivé de f en a. On dit que f est dérivable en a si le taux d’accroissement de f entre a et a  h : f a  h   f a  h f ' a   lim h0 Si f est dérivable en a , alors la courbe représentative

Ts CORRECTION DS 1 I) f ( x ) – f ( 2 ) ( 2 – x ) 4 – x2 - 0 f(x)–f(2) • = = - 4 – x2 donc lim = lim - 4 – x2 = 0 donc x–2 x→2 x→2 x–2 x–2 la fonction est dérivable en 2 et la courbe admet au point d’abscisse 2 une tangente horizontale car f ’ ( 2)=0. • En x = 1 la courbe admet un point anguleux ( il y a donc 2 demi tangentes de coefficient directeur différent ) la fonction n’est pas dérivable en 1 . II ) 1°f ( 0 ) = 2 ordonnée du point de la courbe d’abscisse 0 de même f ( 2 ) = - 2 f ’ ( 0 ) =

décision de première période est de choisir la quantité q0 ≥ 0 3 de sorte à maximiser son propre profit qui s’écrit Π1 (q0 ) = = = 1 2 − c (q0 ) 2 3 1 2 − 2 3 2q0 + 2 1 − q0 2 2 1 − 3q0 2 1 6 2 1 − q0 2 1 − q0 2 Calculons la dérivée première de cette fonction 1 dΠ1 (q0 ) = 8q0 + dq0 6 Cette fonction est strictement croissante en q0 sur 0, 1 . L’entreprise installée 6 ∗ choisira donc une quantité q0 maximale soit q0 = 1 de sorte à évincer son 6 concurrent potentiel du marché.

par f(x) = x² + 2x et Cf sa courbe représentative dans un repère (O,Å;i),Å;j)). A l’aide de la définition du nombre dérivé, calculer f’(1). Donner une équation de la tangente à la courbe Cf au point d’abscisse 1. En utilisant les formules de dérivées, calculer f’(x) puis retrouver le résultat de 1).  Calculer l’équation réduite de la droite (BK). Lire graphiquement les coefficients directeurs des droites TD et TE. Soit Cf la courbe représentative d’une fonction f définie sur [ -6 ; 10]

F.III-12 F.III. Processus de diffusion L’intégrale stochastique permet de donner un sens à l’équation intégrale : X t = X 0 + ∫ µ ( s, X s )ds + ∫ σ ( s, X s )dWs 0 0 t t dont une solution est appelée un processus de diffusion. On écrit souvent l’équation ci-dessus sous sa forme différentielle plus compacte : dX t = µ (t , X t ) dt + σ (t , X t )dWt appelée équation différentielle stochastique. La partie µ (t , X t ) est appelée SCAILLET F.III-13 drift ou terme de

une force de frottement fluide due à la présence d’air dont l’expression est du type : [pic] On obtient alors : [pic] soit [pic] d’où [pic] et [pic] Dans cette équation différentielle interviennent la fonction x(t), sa dérivée première v(t) et sa dérivée seconde a(t) : ➢ le terme [pic] représente les oscillations non amorties du système. ➢ le terme [pic] représente l’amortissement des oscillations. Suivant la valeur de α, l’amortissement sera plus ou moins important et le régime

courbe représentative d’une fonction dérivable en un point. CAPACITÉS ATTENDUES Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé. Fonction dérivée. Dérivée des fonctions usuelles 1 et xn √x x (n entier naturel non nul). Dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient. Calculer la dérivée de fonctions. Lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Extremum d’une fonction. Exploiter le sens de variation pour l’obtention d’inégalités. COMMENTAIRES Le nombre dérivé

26/1/2015 Dérivées en Première ES Dérivées Savoir-faire : Calculer un nombre dérivé à partir de la définition Lire graphiquement un nombre dérivé Tracer une tangente à la courbe représentative d'une fonction connaissant le nombre dérivé Déterminer l'équation de la tangente en un point de la courbe représentative d'une fonction Calculer une dérivée à partir des formules de dérivation «usuelles» Déterminer le sens de variation d'une fonction à partir du signe de sa dérivée I - Nombre dérivé Définition

équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t)) Exemple : y(t) ˙ = 2y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) ˙ est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) = ke2t est aussi une solution