Dérivée partielle

Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0 ; +∞[. Exercice 2 Limites, dérivées, équation et inéquation (6 points) 1) Déterminer les limites suivantes : ex − 1 b) lim (1 + x)e x a) lim x→−∞ x→+∞ x Paul Milan c) lim e2x − e x + 2 x→+∞ d) lim e2x − 1 x→0 x 1 sur 3 19 novembre 2011 contrˆ le de math´ matiques o e Terminale S 2) Déterminer la fonction dérivées des fonctions suivantes : f (x) = (x2 − 2x)e x g(x) = xe x 1 h(x) = 3) Résoudre l’équation

tableur comme EXCEL. III- Principe A une date t donnée, on suppose que la dérivée première dU/dt est constante pendant un cours intervalle de temps t. A partir de l'équation différentielle et des conditions initiales, on calcule la valeur de la dérivée première puis on calcule par intégration la valeur de la tension U à la date t + t. On recommence en considérant la date suivante, t + t ; les valeurs de la dérivée première et de U constituent les nouvelles conditions initiales. Et ainsi des

VARIATIONS DES FONCTIONS I . Sens de variation d'une fonction A. Fonctions croissantes Dire qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I de ℝ signifie que lorsque la variable « x» augmente, l'image f  x  augmente Définition Une fonction f est croissante sur un intervalle I de ℝ lorsqu'elle conserve l'ordre des nombres sur cet intervalle. Quels que soient les réels a et b de I, si ab alors f a  f b . Remarque Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative

• L'ESSENTIEL A RETENIR BAC Se Expérimentales Hr S«i*ISSI SEHM • 23.f2.t2.I2 L -J THEOREME DE LA BIJECTION Si une fonction f est strictement monotone sur un intervalle I alors: • f est une bijection de l'intervalle I sur f ( I ). • la fonction réciproque f ~' de fa le même sens de variation que f. Si de plus, la fonction f est continue sur I, alors la fonction réciproque f ~' de f, est une bijection continue de l'intervalle J = f ( I ) sur I. Remarque

La «fonction inverse» 1 Définition : la fonction inverse est la fonction x SQQT -- définie sur x Remarque : * 6 *. 4 = \ { 0 } = ]− ∞, 0 [ ∪ ]0, +∞ [ désigne l’ensemble de f -6 -4 -2 2 1 tous les nombres sauf zéro. Retenir : ---------- existe lorsque [ … ] ≠ 0 . […] 1 x0 0 M x 2 4 6 Propriétés : • Tableau de valeurs 2 5 10 1 x -2 vx = 1.4 x −10 −5 −2 −1 −0,5−0,1 −0,01 0 0,01 0,1 0,5 1 1⁄x • =0.71 -4 -6 La courbe de x SQQT

| | | | | | |

Fiche Cours Nº : 22001 MATHEMATIQUES Série ES LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Thème : Limites, asymptotes, nombre dérivé, fonction dérivée Fiche 1 : Limites d’une fonction Plan de la fiche I - Notations et formes indéterminées (FI) II - Limites de référence III - Tableau récapitulatif des résultats généraux en fonction de l’expression de f (x) IV - Fonctions classiques donnant lieu aux quatre FI V - Limites d’une fonction composée VI - Limites et ordre Ce premier chapitre

tracé des courbes ne sont pas demandés. 3 Exercice 4 ( 11 points) On considère dans R la fonction définie par : h (x) = a) x1 x 2 4 Donner l'ensemble de définition de cette fonction. b)  x 2  2x  4 Montrer que la fonction dérivée première est : h ‘ (x ) = 2  x 2 4     c) Compléter le tableau de variation de la fonction (aucune justification n'est ici demandée) : x h ' (x) - +  h (x) 4 Exercice 4 ( suite) d) Etudier la nature des branches

Corrigé du test Ch 8 : Equations différentielles Modèles d’évolution Exercice 1 (4 points) Les quatre questions sont indépendantes. 1) Déterminer les solutions de l’équation différentielle : 3 y’ – 2 y = 0 : L’équation s’écrit : y’ = y . Les solutions sont les fonctions : x Ce avec C constante. (0,5 pt) 2) Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle y’ + 5 y = 0 telle que la courbe représentative de f passe par le point A(

MATHEMATIQUES – CORRIGE DU DEVOIR SURVEILLE N°6 EXERCICE 1 a) Soit le trinôme ² + 5 + 4 . =1; =5; =4. ►Calcul du discriminant ∆ : ∆= ²−4 ∆ = 5² − 4 × 1 × 4 ∆ = 25 − 16 ∆= ∆ > 0 ; le trinôme ² + + admet donc deux racines distinctes. ►Calcul des racines du trinôme : = = = = = = − ►Signe × √∆ √ SECOND DEGRE-DERIVATION = = = = = = − × √∆ √ racines et du signe de – , c’est-à-dire strictement négatif à l’intérieur de ses racines. D’où, le tableau de signes du trinôme ² + 5 + 4 : Signe de