Dérivée partielle

CONCOURS GÉNÉRAL SÉNÉGALAIS 1/3 10 1 CGS 02 01 Durée : 05 heures Toutes séries réunies SESSION 2010 CLASSES DE PREMIÈRE MATHEMATIQUES PROBLEME 1 (06 Points) Soit O un point de l’espace muni d’une unité de longueur, S la sphère de centre O et de rayon 1. Soit A, B et C des points de S tels que C n’appartient pas au cercle de centre O passant par A et B. On considère : I le milieu de [AB] et J le point de (OI) tels que les droites (OA) et (AJ) sont perpendiculaires. K le milieu de

 1 ES/L : DS de Mathématiques n°3 10/02/2014 Nom : Prénom : 3h00 Exercice n°1:8 points Evolution du marché du livre numérique aux Etats-Unis. Le graphique suivant donne l’évolution du marché du livre numérique aux Etats-Unis entre 2008 et 2013 : Année 2008+n Recettes (millions) % d'augmentation des recettes augmentation

Démonstration de cours : On considère un nombre réel a. En utilisant la définition du nombre dérivé, prouver que la fonction carré[pic] est dérivable en a, et préciser le nombre [pic]. Exercice 3 : (6 points) Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée [pic] de la fonction f. [pic] 4) [pic] [pic] 5) [pic] [pic] 6) [pic] Exercice 4 : (6 points) Soit f la fonction définie

= f ′(a )( x − a ) + f (a ) III. Fonctions dérivées et dérivées de fonctions usuelles 1. Fonction dérivée d’une fonction f Définition : Si une fonction f est dérivable en tout point a d’un intervalle I, on appelle fonction dérivée de f sur I la fonction qui associe à tout réel de I le nombre dérivé de f en ce point, et on note f ′ cette fonction : f′ x ֏ f ′( x) © http://www.bacdefrancais.net Page 5 sur 23 Dérivation 2. Dérivée de fonctions usuelles Les formules encadrées

limx→0ln(x)=−∞ limx→+∞ln(x)=+∞ D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel non nul n : limx→+∞ln(x)xn=0 limx→0+xnln(x)=0 Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1 étant égal à 1 : limx→1ln(x)x−1=1 BLa dérivée La fonction logarithme népérien est dérivable sur R+∗. Pour tout réel x strictement positif : ln′(x)=1x a molécule et sa position dans l'espace ALes carbones asymétriques Un carbone est asymétrique si, et seulement si, il est relié à quatre

Dérivation I- Nombre dérivé, tangente On note une fonction numérique définie sur un intervalle de ℝ a est un réel de . 1) Définition : Soit ℎ un nombre réel non nul tel que + ℎ ∈ . • On appelle taux d’accroissement de entre et + ℎ le rapport ℎ = • • On dit que la fonction est dérivable en lorsque le taux d’accroissement ℎ devient aussi proche que l’on veut d’un nombre réel lorsque ℎ tend vers 0 Le nombre est appelé nombre dérivé de en a et on note : = = lim ↦ ℎ 2) Détermination

la fonction de la variable x définie sur l'ensemble des réels par : f ( x )  x 5  10 x 4  25 x 3  64 . 1°) a) Déterminez la dérivée première de f sur IR. b) Déterminez l’élasticité de f par rapport à x en x1 = 1 et interprétez le résultat. 2°) a) Vérifiez que le point x2 = 0 satisfait à la condition nécessaire d’extremum local pour f. b) En utilisant les dérivées successives de f en x2, étudiez l’existence d’un extremum local pour f en ce point. page 2 

étudie son signe (c'est-à-dire : on cherche tous les abscisses x pour lesquels la dérivée est positive). Ceci permet, sans avoir tracé la courbe, de pouvoir dresser le tableau de variations. Puis on complète le tableau avec les valeurs des éventuels extremums et enfin, on trace la courbe. AUTRE EXEMPLE On considère la fonction g : * ®  1 x a +x x * 1. Calculer g'(x) pour x Î  . 2. Étudier le signe de la dérivée g'. 3. Dresser le tableau de variations de la fonction g. 4. Tracer la représentation

équation différentielle du premier ordre est une expression qui décrit une relation entre une fonction à une variable et sa dérivée première : y(t) ˙ = f (y(t)) Exemple : y(t) ˙ = 2y(t) Cette équation impose pour être résolue de trouver une fonction y(t) dont la dérivée première est égale à deux fois cette fonction. Une solution de cette équation est y(t) = e2t puisque sa dérivée y(t) ˙ est 2e2t = 2y(t). Remarquons, dans ce cas, que pour n’importe quelle constante k, y(t) = ke2t est aussi une solution

TF06_transitoire_Laplace.xmcd TF06 - Transitoire - Exercice Régime transitoire - transformée de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original