Dérivée partielle

mesure l’utilité tirée de la consommation d’un bien x, alors, l’utilité marginale est : (dans le cas où le bien x n’est pas divisible, x représentant une quantité unitaire du bien x) et dans le cas d’un bien divisible. On notera Um = , qui est la dérivée première de la fonction d’utilité (et qui représente la pente de la tangente au point considéré) Illustration tirée de GAF : Quantité de x consommé Utilité totale Utilité marginale 1 30 30 2 50 20=50-30=U(2)-U(1)=U/x 3 65 15=65-50=

linéaires, ont été entièrement étudiés et peuvent être résolus aujourd’hui par des méthodes relativement efficaces. La méthode d’optimisation classique nous permet à l’aide des outils mathématiques de déterminer des minima locaux en utilisant les dérivées partielles de f. Du calcul différentiel, nous trouvons que si f est différentiable et possède un extremum local au point x1, alors x1 doit être une solution à l’ensemble des n équations : F(x) xi i= 1, . . . . ., n Voici à présent un exemple

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 30 31 31 Calcul différentiel élémentaire 7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Problèmes d’extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Les théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites 7.5 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...... 4 Modèle Matrice (m x n) ............................... 4 Modèle Somme (G) ....................................... 4 Modèle Produit (Π) ...................................... 4 Modèle Dérivée première ........................... 4 Modèle Dérivée seconde ............................. 5 Modèle Dérivée n-ième ............................... 5 Modèle Intégrale définie ............................ 5 Modèle Intégrale indéfinie ......................... 5 Modèle Limite .........................

détecter et en faisant évoluer cette courbe de façon à minimiser son énergie E. La segmentation est réalisée à travers un processus de minimisation d’une énergie notée E exprimée par: (4) vs (s) : La dérivée première de v(s) par rapport à s. α(s) : L'élasticité du contour vss(s) : La dérivée seconde de v(s) par rapport à s. β(s) : La rigidité du contour Le terme de premier ordre contrôlé par α ( s ) qui représente l'élasticité de contour. Le terme du second ordre contrôlé par β (s ) qui

................................................................. 4 I. Notion de Continuité 4 II. Les Limites 5 Chapitre II : Dérivation et Etude de fonctions ....................................................... 11 I. Nombre dérivé - Fonction dérivée 11 II. Dérivation et Etude de fonction 12 III. Equation d’une tangente à une courbe 13 IV. Dérivation et Valeur Intermédiaire 14 Chapitre III : Calcul intégral..................................................................................... 15

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∈]a,b[, on a f (x0 ) = 0 et f (x0 ) = 0 , / la fonction f présente un extrémum local en x0 . C'est un maximum si f (x0 ) < 0 , un minimum si f (x0 ) > 0 . 28 Analyse en 30 fiches 5 Application Étudiez la dérivabilité et calculez la dérivée de la fonction définie sur R par : 1 f (x) = x sin pour x = 0 et f (0) = 0. / x Solution / Pour x = 0, la fonction f est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et 1 1 1 f (x) = sin − cos · x x x Étudions la dérivabilité

utilisant la définition du nombre dérivé calculer f ’(1). Déterminer f ‘(x) en utilisant maintenant les théorèmes vus en cours et comparer le résultat obtenu pour x =1 dans la question 2°) Exercice 2 (2 points) Cadeau !! Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions ci-dessous après avoir précisé l’ensemble de dérivation. g définie sur par g(x) = -2 x3 + x – 2² h définie sur par h(t) = + + p;2)) i définie sur ]0 :+ 邰‰뽨ĜǟČ [ par i(x) = 4 + - p² Exercice 3 (3.5 points)

Dérivation : Résumé de cours et méthodes 1 Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION • Etant donné f est une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel a, f est dérivable en a si lim h→0 f (a + h) − f (a) existe h et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de f en a et que l’on note f (a). • Si f est dérivable pour tous les éléments de I, on dit que f est dérivable sur I et on appelle dérivée de f la fonction, notée f , qui à tout a de I associe f (a), le