Dérivée seconde

(en appelant g(x) la fonction affine représentée par T, on étudiera le signe de d(x)=f(x)­g(x)) Position relative d'une courbe et d'une tangente x3 2 −x −3 x1 . 3 1­ Calculer f '(x) et en déduire les variations de f . f '(x) = x2 ­ 2x ­ 3 = (x ­ 3)(x + 1). f '(x) est un trinôme du second degré qui admet deux racines ­1  et 3. Comme le coefficient de x2 est positif, f '(x) est positif à l'extérieur des racines et positif  entre les racines. On peut construire le tableau de variations suivant : Soit f  la fonction définie sur ℝ par 

Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance Damien Lamberton Bernard Lapeyre Avant-Propos Pour cette seconde édition, nous avons apporté quelques modifications au texte primitif. Les premières concernent la correction d’erreurs plus ou moins importantes. L’erreur la plus sérieuse était une affirmation fausse concernant les intégrales stochastiques (voir le résumé des propriétés de l’intégrale stochastique à la fin de la section 4.1 du chapitre 3 et l’exercice 15, qui nous a été

une fonction dérivable sur un intervalle de R. Elle fait intervenir la fonction-inconnue notée y, ses dérivées successives notées y ′ , y ′′ , · · · et des fonctions connues. Par exemple, considérons l’équation différentielle (E) : y ′′ − 2y ′ + y = x2 1. Montrez que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 + 4x + 6 est une solution de (E). 2. Montrez que f est la seule fonction polynômiale du second degré solution de (E). 3. Montrez que la fonction g définie sur R par g(x) = (2x − 5)e x + x2 + 4x +

I:\formation\Excel\23_tangente et dérivée\derivée.rtf Vitesse moyenne et vitese intantanée 1. Expérience Une balle est lâchée d'une certaine hauteur. En fonction du temps t (exprimé en secondes) elle parcourt une distance f (t) (exprimée en mètres). Cette distance est évaluée à intervalles de temps réguliers, les résultats sont donnés dans le tableau cidessous : Voir l'animation. t f (t) 2. Tracé a) Placer sur une feuille millimétrée, dans un repère d'unité 10 cm, les points correspondant à ce

pas confondre avec la vitesse scalaire moyenne qui est vitesse scalaire moyenne = distance ∆t et qui sera peu utilisée ici. Exemple 1.3.1 Un objet se déplace sur l’axe des x en partant de x = 0. Il va à x = 50 m en 5 secondes puis va a x = -10 m en 15 secondes. a) Quel est le déplacement de cet objet ∆x = x2 − x1 = −10m − 0m = −10m b) Quelle est la distance parcourue par cet objet? L’objet a fait 50 m vers la droite puis 60 m vers la gauche, la distance parcourue est donc de 110m

Variable temporelle t  variable fréquentielle s – De nombreuses propriétés, on retient :  Dérivée,  Intégrale,  Limite,  Association. 12/36 Laplace Sn GMP2 13/29 Laplace  Signaux : impulsion, échelon, rampe – Impulsion : a(t)  a – Échelon : a   Unitaire a si a=1 – Rampe : at  – Générale : tn  14/36 Laplace  Limite GMP2 15/29 A retenir  Transformé – – de Laplace : dérivée : *s Intégrale : /s  Signaux  Limites 16/36 Système  Dans de très nombreux cas :

dans les différentes parties du mouvement. 8 Avant le premier rebond t en secondes 0,00 -0,50 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 -1,00 v=f(t) -1,50 f(t)= -9,4.t-0,51 -2,50 -2,00 -3,00 -3,50 -4,00 -4,50 v = -9,4*t - 0,51 -5,00 9 Entre le premier et le second rebond 4,00 3,00 v = j(t) j(t) = -9,3.t + 7,9 2,00 1,00 t en secondes 0,00 -1,00 0 0,5 1 1,5 -2,00 -3,00 -4,00 v = -9,3*t + 7,9 -5,00 10 Après le second rebond 3,50 3,00 3,00 v = h(t) h(t)= -10,2.t+16,1 2,50 2,50 2,00 2

ne rapportent ni n’enlèvent de point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante 1. Soit la fonction g définie pour tout nombre réel x strictement positif par g (x) = 2e3x + 1 ln(x). 2 Si g ′ désigne la fonction dérivée de g , on a : a. g ′ (x) = 2e3x + 2 x b. g ′ (x) = 6e3x + 2 x c. g ′ (x) = 6e3x + 1 2x d. g ′ (x) = 6ex + 1 2x 2. La courbe représentative C d’une fonction f définie sur l’intervalle [−2 ; 4] est donnée ci-dessous. La tangente T à la courbe

et rapides ? 1/ Mise en évidence expérimentale : Conclusion : Il existe des transformations : rapides ou instantanées : la transformations semble achevée dès que les réactifs entre en contact. lentes : lorsque son déroulement dure de quelques secondes à quelques minutes. infiniment lentes : lorsque le système ne semble pas évoluer même après plusieurs jours. Le système est dit cinétiquement inerte. 2/ Comment suivre l‘évolution d’une transformation chimique ? Principe : il faut pouvoir suivre

fonction du temps. Comme pour le mouvement à allure constante (m.r.u.), les physiciens ont inventé une idéalisation du mouvement à allure de plus en plus rapide. Une Porsche 911 est capable de réaliser une accélération de 0 à 100 km/h en 5 secondes. Lors de ce test d’accélération, de petits arrêts de l’accélération ont lieu lors de chaque changement de rapport de la boîte de vitesse (de 1ère en 2ème, de 2ème en 3ème , …) On peut idéaliser le mouvement et étudier la situation si l'augmentation