Dérivée seconde

I Fiche synthèse : Fonctions à plusieurs variables Dérivées partielles du 1er et du 2ème ordre : Soit f une fonction à plusieurs variables, on appelle dérivée partielle du 1er ordre par rapport à la variable x la limite lorsqu’elle existe : limx0fx,y-fx0,yx-x0 On la note ∂f∂x ou f'xx,y ; y est supposée constante. De même, on appelle dérivée partielle du 1er ordre par rapport à la variable y la limite lorsqu’elle

partielles. La dérivé partielle est la dérivé d’une fonction par rapport à une variable. U= la fonction d’utilité Deux biens X et Y * U=f(X,Y) * La dérivée partielle est dU/dx et va permettre de mesurer l’impact de la variation de x sur U * (d=variation très petite de la quantité consommé de bien X) * dU/dY est l’impact d’une variation de Y sur l’utilité totale 2.1.3 Taux marginal de substitution

biens. Dérivée partielle de fonction a plusieurs variables. Plusieurs variables=plusieurs dérivées. F’f(x;y) et f’y(x;y) sont des dérivées partielles premières. f(x;y)= 2x2y-xy3 F’f(x;y)= 4xy-y3 F’y (x;y) = 2x2 -3y2 F’(x;y) = δ Il y a 2 utilités marginales a calculer. L’utilité par rapport a X et par rapport au bien Y : Par rapport a X va s’écrire : U xn = Lim Δ f(x ; y) / Δ X ⎝ f’X (x ; y) = δf/δx ⎝ δUr/δx Uyn = δUr/ δy Pour X: la dérivée partielle

Bases mathématiques pour l’économie et la gestion thèmes abordés o Prérequis - Calcul algébrique - Dérivée d’une fonction d’une variable o Fonctions exponentielles et logarithmes - Propriétés - Dérivée o Matrices - Somme et produit de matrices - Déterminant d’une matrice carrée - Inversion d’une matrice carrée inversible ( 2 méthodes : matrice adjointe et matrice compagnon ) - Écriture matricielle d’un système linéaire o Équations linéaires Systèmes d’équations linéaires - Résolution

): Si df est continue, on dit que f est de classe C 1 (U): Si f est di¤érentiable en a 2 U; f est continue en a: L’application f ! df est linéaire et suit la règle de composition : d (gof ) (a) = dg (f (a)) odfa Dérivée directionnelle Si f est di¤érentiable en a; alors f possède des dérivées suivant tout vecteur et dh f (a) = dfa (h);c’est à dire: ff est di¤érentiable en a ) f (a + th) t!0 t 8h 2 E; dh f (a) = lim f (a + t) t!0 t f (a) Si E = R, on a d1 f (a) = f 0 (a) = lim f (a) = dfa (h)

Chap3 : Fonctions numérique à deux variables 1 2 3 4 5 Produit cartésien Fonctions de deux variables Limites et continuité Dérivées partielles Extremums - optimisation Pr. Otheman Nouisser ENCG- Kénitra, 2014 Définition Application Soient E et F deux ensembles quelconques non vides. On appelle produit cartésien de E par F et on note E × F , l’ensemble défini par : E × F = {(x, y )/x ∈ E et y ∈ F }. Exemple R2 = R × R R+ × R− = {(x, y )/x ≥ 0 et y ≤ 0} R3 = R × R × R Pr. Otheman Nouisser

d’indifférence. Une autre possibilité consiste à utiliser un logiciel comme Excel (ou un autre). 2.2 Dérivée partielle et gradient Une dérivée partielle indique le taux de variation d’une fonction correspondant à un accroissement marginal d’une seule des deux variables, l'autre étant considérée comme constante. On peut dériver par rapport à x ou à y :   Pour f ( x, y) , on définira les deux dérivées partielles par :  f x, y   f x ( x, y ) où x est la variable par rapport à laquelle on

affines, polynômes, rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. 2- La dérivation Dérivées de fonctions usuelles : Opérations sur les fonction dérivables : Théorème : Si f et g sont dérivables sur I ( I et fn sont dérivables et on a : IR) alors f + g, f , f.g(g 0), Sens de variation d’une fonction : Résolution d'une équation du second degré Une équation du second degré a la forme suivante : Le discriminant noté est défini par Si < 0 alors l‘équation

| |Q/L = KL/L = K. | |Dans le second exemple, la productivité moyenne du travail est une fonction du capital. Si K = 2, alors PmL = 2 ; si K = 3, alors PmL = | |3.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.3. Les facteurs élémentaires de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.4. La sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.5. Seconde démonstration du Théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .