Dernier théorème de Fermat

1.2 4 4 Applications linéaires 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4 CHAPITRE 2 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 2.1 2.2 2.3 Familles libres, familles liées, familles génératrices Sommes, sommes directes Théorème d’isomorphisme Interpolation de Lagrange Théorème du rang 9 9 10 11 Dualité 13 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Généralités Hyperplans Bases duales 13 14 16 Calcul matriciel 22 1.4.1 1.4.2 Trace Blocs 22 27 Déterminants 35 Le groupe symétrique 36 2.1.1 2.1.2 2.1.3 36 36

de la division euclidienne de a 141 par 227. a. Vérifier que g [ f (0)] = 0. b. Montrer que, quel que soit l’entier non nul a de A, a 226 ≡ 1 [modulo 227]. Que peut-on dire de f [(g (a)] = a ? On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p alors a p−1 ≡ 1 modulo p. c. En utilisant 1 b, en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A. g [ f (a)] = a. Exercices de spécialité 55 A. P M. E. P . .

vraie et l’autre fausse. L’énoncé du théorème de Pythagore est « si le triangle ABC est rectangle en A alors AB2 + AC2 = BC2 ». La contraposée a pour énoncé : « si AB2 + AC2 ≠ BC2 alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A ». L’implication du théorème est vraie donc sa contraposée aussi d’après la propriété 1 (ou par le raisonnement suivant : si on a AB2 + AC2 ≠ BC2 , alors le triangle ABC ne peut pas être rectangle en A car, alors, d’après le théorème de Pythagore l’égalité serait vraie)

(n + 1) par 100, c’est-à-dire les deux derniers chiffres de . 2 (n + 200)(n + 201) n (n + 1) qui sont les mêmes que ceux de . 3. Le numéro un+200 s’obtient avec les deux derniers chiffres de 2 2 Donc les deux puces sont sur la même case. (199 - n)(200 - n) De même, si n р 199, le numéro u199- n s’obtient avec les deux derniers chiffres de . 2 (199 - n)(200 - n) n (n + 1) Or = + (- 2n + 199) ¥ 100 . 2 2 (199 - n)(200 - n) n (n + 1) et ont les mêmes deux derniers chiffres. Les deux puces sont sur la

Complexité des problèmes Paradigmes de programmation Les arbres équilibrés Introduction Dénition de la complexité algorithmique Calcul de la complexité Estimation asymptotique Algorithmes itératifs Algorithmes récursifs Méthode générale Théorème : Soit T(n) une fonction dénie par l'équation de récurence suivante, où b ≥ 2, k ≥ 0, a > 0 et c > 0 : n T (n ) = a × T ( b ) + c × n k a, b et k détermine la fonction T (n) comme suit : log (a) ) alors T (n ) = Θ(n b k alors T (n

éventuellement perçue par le SAEA. Sont notament astreints à la taxe scolaire : - les étudiants confédérés de plus de 20 ans non contribuables à Genève depuis 2 ans au moins ; - les étudiants étrangers non contribuables en suisse depuis 5 ans dont les 2 derniers à Genève. Allocations d’études Des aides financières (chèque de formation ou allocations) peuvent être obtenues, sous certaines conditions, auprès du Service des allocations d’études et d’apprentissage - rue Pécolat 1 - Case postale 16039 - 1211

Échantillons et sous-populations 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 33 33 35 40 41 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une

s’ils sont égaux ou opposés : |x| = |y| si et seulement si√x = y ou x = −y. • Pour tout nombre réel x, x2 = |x|. • • • • Démonstration : • Les quatre premiers points sont des conséquences directes √ de la définition de la valeur absolue. • Pour le dernier point, par définition de la racine carrée, x2 est le nombre positif dont le carré vaut x2 . Mais, x ne peut être ce nombre puisque l’on ne connaît pas son signe. Or, on sait que |x|2 = x2 (que x soit positif ou négatif) et |x| 0. Ainsi, l’unique nombre

sous-populations 33 33 35 40 41 3 • Probabilité conditionnelle. Indépendance 3.1 3.2 3.3 Définition Principe des probabilités composées Événements indépendants 42 42 44 44 III 3.4 3.5 Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 45 46 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité

Professeur au Collège Honoré de Balzac à Albi (81) 4 e Isabelle Daro Professeur au Collège Jean-Auguste Ingres à Montauban (82) Christine Ferrero Professeur au Collège Bellevue à Toulouse (31) Stéphane Poupas Professeur au Lycée Pierre de Fermat à Toulouse (31) Benoît Ripaud Professeur au Collège François Mitterrand à Fenouillet (31) Livre du professeur Tous les tableaux à compléter et les figures (en couleurs) sont disponibles à partir de septembre 2011 sur les sites http://phare-prof