Dimension d'un espace vectoriel

sous-espace vectoriel de R2 contenant 2 La famille ((0, 1, 1), (1, 0, 1), (−1, 2, 1)) est a génératrice de b liée c une base de R3 R2 1 2 3 dans les bases 3 2 1 canoniques et x = (1, 2, 3), alors par la matrice M = 6 Si f est l'application linéaire représentée a f est une application de R3 dans R2 b f (x) est le vecteur (3, 2, 1) c f (x) est le vecteur (14, 10) d f (x) n'est pas déni, parce que M n'a que deux lignes alors que x a trois composantes. d génératrice d'un plan

des matières Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » . . . . . . . . . Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 1. Espaces vectoriels et Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 1.2 1.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre 9 ´ ´ ESPACES PREHILBERTIENS REELS ET COMPLEXES 1 Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples usuels d’espaces pr´hilbertiens r´els . . e e 1.3 Norme euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e 1.4 Espaces pr´hilbertiens complexes . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PSI∗ Lycée Jean Perrin Colles maths du 13 décembre Espaces préhilbertiens réels et euclidiens Révisions suites et séries de fonctions E est un R-espace vectoriel 1 Produit scalaire 1.1 Formes bilinéaires symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo)

1 Notion de topologie dans Rn 1.1 Espaces métriques, définition de la distance . . . . . . . . 1.2 Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée . . . . 1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Position d’un point par rapport à une partie de Rn . . . . . 1.5 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Suites numériques dans un espace vectoriel normé 1.6.2 Ensemble compact . .

(−1), P (0), P (1)) ∈ R3 , f7 : P ∈ R[X] → P −(X−2)P ∈ R[X]. Exercice 2. Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application lin´aire de E dans lui-mˆme telle que ϕn = 0 et ϕn−1 = 0. Soit x ∈ E tel que e e ϕn−1 (x) = 0. Montrer que la famille {x, . . . , ϕn−1 (x)} est une base de E. 2 Image et noyau Exercice 3. E1 et E2 ´tant deux sous-espaces vectoriels de dimensions fie nies d’un espace vectoriel E, on d´finit l’application f : E1 × E2 → E par e f (x1 , x2 ) = x1 + x2 . 1. Montrer

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programme 1. Tout sur les s´ries (sauf le calcul des sommes, on pourra cependant utiliser les d´veloppements usuels des fonctions e e classiques). 2. R´visions sur les calculs de d´veloppements limit´s ou asymptotiques. e e e 3. R´visions sur les espaces vectoriels (sauf, matrices et d´terminants). e e 4. Constructions de bases adapt´es a un probl`me. e ` e 9.4.2 Les exercices +∞ k=n+1 Exercice 9.4.83 Soit f une fonction convexe sur [0, +∞[, qui tend vers 0 en +∞, montrer que : (−1)k f (k) ≤

…, lp) de Rp. 2. NOTATION Apn : est la matrice rectangulaire de p lignes et de n colonnes. aij : est l’élément de la matrice Apn de la ième ligne et de la jème colonne. 3. MATRICE NULLE, EGALITE, TRANSPOSITION On appelle matrice nulle de dimension (p, n), la matrice dont tous les éléments sont nuls c’est à dire : aij = 0 (1ip, 1jn) Deux matrices sont égales lorsqu’elles représentent, par rapport à des bases données, la même application linéaire. L’égalité A = B équivaut donc, pour

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs