Dimension d'un espace vectoriel

en trigonom´trie . . . . . . . e Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Extraction de racine carr´e par r´solution alg´brique (` ´viter) e e e ae 2.4.2 Extraction de racine carr´e par r´solution trigonom´trique . . . e e e 2.4.3 Equation du second degr´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4.4 Racines ni`mes de l’unit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.4.5 Racines ni`mes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . .

Danchin e Ann´e 2009–2010 e 2 Table des mati`res e 1 Un 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 peu de topologie g´n´rale e e D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . e Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . e Topologie produit (hors-programme) Suites des espaces topologiques . . . Compacit´ . . . . . . . . . . . . . . . e 5 5 7 8 9 10 13 13 14 17 18 20 25 25 28 30 32 33 37 37 37 38 39 40 43 43 44 46 49 53 53 55 56 57 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Appartenance et éléments d’un ensemble . . . . 6.1.2 Inclusion et sous ensemble . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . 6.1.4 Famille d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Vocabulaire et notations . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Image directe et image réciproque d’un ensemble 6.2.3 Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . 6.2.4

l’ensemble des solutions d’un syst`me lin´aire . e e 1.5.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Cas des syst`mes homog`nes . . . . . . . . . . . . . e e 1.5.3 Cas g´n´ral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2 Vecteurs 2.1 Rappels sur les vecteurs du plan . . . . . 2.2 Vecteurs en dimension n . . . . . . . . . . 2.3 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Combinaisons lin´aires . . . . . . . e 2.3.2 Sous-espaces vectoriels engendr´s . e 2.3.3 Familles

Exo7 Espaces vectoriels ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ❱✐❞é♦ ■ ♣❛rt✐❡ ✶✳ ❊s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✷✳ ❊s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❢✐♥✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✸✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✹✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭♠✐❧✐❡✉✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✺✳ ❙♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ✭❢✐♥✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✻✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭❞é❜✉t✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✼✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭♠✐❧✐❡✉✮ ■ ♣❛rt✐❡ ✽✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭❢✐♥✮ La notion d’espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. Il s’agit de dégager

des initiatives qu’il a été amené à prendre. *** QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS Notations et objectifs : Dans tout le texte E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie n 1. On note id l’endomorphisme identité de E, Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c’est-à-dire E = E1 ⊕ E2 , on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l’endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant

des points extrémaux de la boule unité des opérateurs sur un Hilbert, qui fait apparaître des phénomènes nouveaux intéressants (co-isométries vraies) en dimension infinie. 2. Topologie : L’utilisation de la compacité apparaît au chapitre VII avec les opérateurs compacts, dont on sait que la théorie spectrale est proche de celle faite en dimension finie (théorie de Riesz) et le théorème d’Ascoli-Arzela y est souvent utilisé, ainsi que la convergence quand il y a une seule valeur d’adhérence (et quand

presque impossible l’interpr´tation. En effet avec 10 variables, il aura 45 graphiques de liaisons e et 15 ( ?) le nombre devient alors 105 ! Par cons´quent, est- il possible de trouver une repr´sentation plane de l’ensemble des varie e ables dans un espace r´duit permettant une visualisation des liens num´riques et de d´celer des e e e facteurs latents ? Le but de cet article est de pr´senter dans sa premi`re partie une description math´matique e e e de la m´thode exploratoire Analyse en Composantes

préfèrera les problèmes visant à développer la compréhension et l’intuition des élèves, mettant à profit la présence du colleur. Prérequis La connaissance du cours est indispensable ; elle est, de toute façon, la moindre des choses qu’on peut attendre d’un candidat aux concours. Malgré mes efforts pour ordonnancer le contenu de ce recueil, c’est à dire faire en sorte qu’un exercice ne fasse appel qu’aux connaissances des chapitres qui le précèdent, cela n’a pas toujours été possible (notons qu’un bon

Enoncés Espaces vectoriels 1 Exercice 6 [ 01685 ] [correction] Les parties de F(R, R) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels ? Structure d’espace vectoriel Exercice 1 [ 01680 ] [correction] Soit E un R-espace vectoriel. On munit le produit cartésien E × E de l’addition usuelle : (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) et de la multiplication externe par les complexes définie par : (a + i.b).(x, y) = (a.x − b.y, a.y + b.x). Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci