Dimension d'un espace vectoriel

MP* 2014/2015 RÉSUMÉ DU COURS ESPACES NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE I Suites réelles et complexes A Borne supérieure Définition Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle

16 17 18 Alg`bre lin´aire (r´vision programme sup) e e e Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale d´pendant d’un param`tre e e e S´ries de Fourier e ´ Equations diff´rentielles e Courbes et surfaces Int´grales multiples e Formes diff´rentielles

........................................................................ 5 4. Les produits vectoriels............................................................................................................................ 5 Le produit interne............................................................................................................................................ 6 Le produit vectoriel ..........................................................................................

d'apprendre à diagonaliser une matrice, quand c'est possible. Définition 12.1.2 Diagonaliser une matrice , c'est trouver une matrice de passage et une matrice diagonale telles que : Pour illustrer l'intérêt de la diagonalisation, prenons l'exemple d'un système d'équations de récurrence linéaire, du type , où désigne un vecteur dont on souhaite connaître l'expression en fonction de . Du point de vue théorique, il n'y a pas de problème : Mais cela n'avance à rien si on ne sait pas calculer

principalement sur le plan de la méthode et du lexique, susceptibles d’accompagner la préparation des concours. Le souci a été d’efficacité et d’utilité, quant au choix du format il nous a été dicté par l’intention de publier des textes maniables, d’un accès aisé et vers lesquels il est commode de revenir souvent. Aux textes rédigés les années précédentes, il a été ajouté le mémento consacré au thème de CSH de l’année, La Beauté. Tous les textes sont donc désormais à disposition, ils ont prouvé

R dans R, équations différentielles Un problème de raccordement de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equations différentielles Géométrie élémentaire, coniques 21 22 23 24 Étude de l’intersection de deux plans mobiles et d’un plan fixe . . . . . . . . . . . . Géométrie dans l’espace 28 29 30 31 Autour d’une hyperbole équilatère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Géométrie plane, coniques Caractérisation des tangentes à une conique . . . . .

et Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006 ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs variables, f : Rn → Rm , ou, plus généralement f : V → W , où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier

Pierre-­‐Marie  Gandoin  (PMG)   §  Mihaela  Scuturici  (MS)   Laboratoire  LIRIS   Bât  C,  Bron   {prenom.nom}@univ-­‐lyon2.fr   Plan   §  23/01  (LT)  :  Introduction  /  Images&  videos  numériques  /  Espace  de   représentation  des  couleurs  /  Formats  /  Analyse  et  traitement   d'images  /  Intro  à  la  bibliothèqueOpenCV  /  Ouverture,   visualisation,  accès  &  modification  pixels   §  30/01

Topologie Générale et Analyse Fonctionnelle. Hermann, 2008. [Wa] C. Wagschal. Topologie et Analyse Fonctionnelle. Hermann, 2012. [Wi] M. Willem. Analyse Fonctionnelle Élémentaire. Cassini, 2003. Les premiers chapitres du livre [B] forment un bon condensé (d’un niveau assez élevé) des grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle. Le livre [HL] est aussi très clair et contient des exercices pertinents qui sont pour la plupart corrigés dans [LM]. On pourra aussi consulter le très concis [Wi] qui adopte une présentation

propre, avec des sigma et des pi, sans le moindre point de suspension (bon sang, je devient prof de Spé !). £   n.¢ 1 pt. ¡ Donnez ensuite la for£   matrice de taille n. 2 pt. ¢ ¡Je vous   £ ¢ 4 pt. ¡Donnez une [♦(1)] Donnez la dimension de l'espace vectoriel des matrices carrées M de taille 2 de trace nulle et vériant T r(A.M ) = 0 avec A= 1 −1 3 1   £ . 3 pt. ¢ ¡ → → → − − − → → − − 3 Soit f linéaire de R dans lui même. On suppose : f ( i + j + k ) = 2