Dimension d'un espace vectoriel

notions sur les espaces vectoriels et le calcul matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires. Calcul dans Թ Notions élémentaires sur les ensembles Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (25h) Travaux dirigés (15h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels I- LCI et LCE II- Structure d’espace vectoriel réel III- Sous

2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes, structures alg´ebriques page 23 4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33 5 L’anneau des entiers Z page 46 6 L’anneau des polynˆ omes page 53 7 Matrices page 65 8 Espaces vectoriels page 74 9 Applications lin´eaires page 84 10 Introduction aux d´eterminants page 90 11 G´eom´etrie dans le plan et l’espace page 96 Appendice : R´esum´e d’alg`ebre lin´eaire page 105 12 Suites de nombres r´eels ou complexes page 109

linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et le calcul matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires. Calcul dans Թ Notions élémentaires sur les ensembles Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (25h) Travaux dirigés (15h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels I- LCI et LCE II- Structure

. . . . . . . . . . . . . . . 6 : Nombres complexes et fonctions usuelles : autour de la formule de Machin. . . . 7 : Des suites de moyennes d´finies par r´currence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 8 : Plans m´diateur, bissecteur et hauteur d’un triangle dans l’espace. . . . . . . . e 9 : Disque elliptique comme union de cercles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 : Ensembles : th´or`me de Sperner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 11 : Famille de suites d´finie

les théories du bouc émissaires pourront alors nous servir de transition et permettrons de considérer la vie dans une nouvelle dimension, non comme inscrite de manière définitive dans un espace mais comme rapport instable au monde. La vie devient alors scalaire en vue d’une vectorialisation nouvelle du monde (penser que l’espace c’est avant tout l’espace vectoriel mathématique). Dans cette voie on pourra tout d’abord affirmer que toute vie ouvre une nouvelle possibilité de reconfiguration

Systèmes linéaires Calcul matriciel 1. Systèmes linéaires III TABLE DES MATIÈRES 2. Calcul matriciel 3. Un exemple d’espace vectoriel 114 125 131 131 138 142 144 148 153 153 156 165 173 175 175 182 186 189 197 197 200 206 208 5 Espaces vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement

et P4 . 12. Calculer le degré, le coefficient dominant et le terme constant de Pn . 13. On considère la fonction g telle que g ( x ) = x 2 f ( x ) . Démontrer que g (n +1) = f (n ) 14. Rappeler la formule de Leibniz relative à la dérivée n-ième d’un produit de fonctions en indiquant les hypothèses. 15. En utilisant la formule de Leibniz pour calculer g (n ) ( x ) , démontrer que : (2) Pn +1 ( x ) = (1 − 2 (n + 1) x ) Pn ( x ) − n (n + 1) x 2Pn −1 ( x ) . CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES

` ´ Problemes de Mathematiques Dual topologique d’un espace p . Exemples de parties compactes de 2 ´ Enonc´ e Dual topologique d’un espace compactes de 2 p . Exemples de parties Dans tout le probl`me le corps de base des espaces vectoriels consid´r´s est C . Lorsque (E , · ) e ee est un espace vectoriel norm´, E d´signe l’espace des formes lin´aires continues sur (E , · ) . e e e Partie I [ I ] [ S ] 1) On d´signe par B la boule ferm´e unit´ de E , c’est ` dire l’ensemble des

. . . . . . . . . . o Pb 11 : M´thode du point fixe et de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb 12 : Suites des solutions d’une famille d’´quations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb 13 : Endomorphismes nilpotents en dimension 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 14 : Matrices de projecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 15 : Majorations d’int´grales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Pb 16 : Une suite

NOTES DU COURS DE MATHS 3 CHRISTIAN LÉONARD 1. Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies