Dimension d'un espace vectoriel

nilpotente. Justifier l’existence d’une matrice B ∈ Mn (C) telle que B 2 = I + A. Exercice 5 [ 00712 ] [correction] Soit D = diag(a1 , . . . , an ) ∈ Mn (K) et ϕ : M ∈ Mn (K) → DM − M D a) Déterminer noyau et image de l’endomorphisme ϕ. b) Préciser ces espaces quand D est à coefficients diagonaux distincts. Exercice 11 [ 03144 ] [correction] Soit n ∈ N avec n 2. a) Montrer que {A ∈ Mn (R)/∀M ∈ GLn (R), AM = M A} = {λIn /λ ∈ R} b) Soit A ∈ Mn (R). On suppose que ∀M, N ∈ Mn (K), A = M N ⇒ A = N M Montrer

Introduction et pr´sentation. e 1 Le langage math´matique e 2 Ensembles et applications 3 Groupes, structures alg´briques e 4 Les corps des r´els R et le corps des complexes C e 5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10 Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es et formule

Informatique de l’Image et du Langage (2IL) Responsable : René Caubet Université Paul Sabatier – Toulouse III 118, Rte de Narbonne Laboratoire de l’Institut de Recherche en Informatique de Toulouse 31062 Toulouse Cedex. Vers le développement d’un système de recherche d’information personnalisé intégrant le profil utilisateur Par Zemirli W.Nesrine Equipe SIG/RI Directeur de recherche : Encadrement et Suivi : Mohand BOUGHANEM, Mohand BOUGHANEM, Linda LECHANI, Professeur Professeur

6 9   i −1 2i   I =  2 0 1 . −1 0 1   Exercice 13 - Matrice inverse et polynˆmes - L1/Math Sup o Soit A la matrice de Mn+1 (C) d´finie par ai,j = e j−i i−1 si i ≤ j, ai,j = 0 sinon. 1. Interpr´ter A comme la matrice d’un endomorphisme de Rn+1 [X]. e 2. En d´duire que A est inversible, et calculer son inverse. e Exercice 14 - Matrice ` diagonale dominante - L1/Math Sup a Soit A ∈ Mn (C) une matrice ` diagonale dominante, c’est-`-dire que pour tout i ∈ {1, . . .

Exercice 7 *** I Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que u et v commutent et que v est nilpotent. Montrer que det(u + v) = detu. Correction [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n. Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1, n]], Tr(Ak ) = 0. Correction [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant f g − g f = f . Montrer que f est nilpotent

G´om´trie vectorielle algorithmique e e ou La g´om´trie vectorielle par l’informatique e e Comment r´soudre les exercices de g´om´trie vectorielle e e e sans faire les dessins ? Jean-Paul JURZAK L’auteur autorise la libre diffusion de ce travail, ` des fins non-commerciales. a Pr´face e Ce travail est destin´ ` un large public d’enseignants, d’´tudiants et aussi d’informaticiens. Son but ea e est d’aborder la g´om´trie vectorielle sous un aspect nouveau permettant de r´soudre la plupart

mathématiques session 2015, CCP-MP Mise à jour : 26/08/14 BANQUE ANALYSE EXERCICE 1 analyse Énoncé exercice 1 1. On considère deux suites numériques (un )n∈N et (vn )n∈N telles que un ∼ vn . +∞ Démontrer que un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang. 1 1 2. Déterminer le signe, au voisinage de l’infini, de : un = sh − tan . n n Corrigé exercice 1 1. Puisque un ∼ vn , on peut écrire, au voisinage de +∞, un = vn + o(vn ). +∞ o(vn ) = εn vn avec lim εn = 0. n→+∞ lim εn = 0 donc il

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Modélisation vectorielle des MOCN [LEFUR 96] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1. Points utilisés pour modéliser la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.2. Vecteurs caractéristiques des éléments de la MOCN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.3. Equation vectorielle utilisée en usinage à commande numérique . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.4. Remarques

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 Déterminants Applications multilinéaires Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur