Division d'un polynôme

papier a été rédigé dans le cadre du Chap.2, "Modélisation et problèmes algorithmiques" de notre thèse de Doctorat. Nous ferons ainsi référence à des modules (ESTIME, GEBANK, PROGEN+COMBIN etc.) que nous avons programmés dans le cadre de la construction d’un logiciel de modélisation (SIMUL) - voir Annexe I. 2 - Groupe d’Analyse Macroéconomique Appliquée, 200, Avenue de la République, 92001 NANTERRE Cedex - FRANCE - Tél. : 01-40-97-77-88 - E-mail : rodolphe.buda@u-paris10.fr MODEM : Modélisation de la

Traduire le lien entre deux quantités par une formule. Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : – identifier la variable et, éventuellement, l’ensemble de définition ; – déterminer l’image d’un nombre ; – rechercher des antécédents d’un nombre. Les fonctions abordées sont généralement des fonctions numériques d’une variable réelle pour lesquelles l’ensemble de définition est donné. Quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou sur ‫ ,ގ‬voire

fabrication, le contrôle des produits intermédiaires et finis et les essais de stabilité de tous les produits pharmaceutiques. De plus pour tout laboratoire, la validation analytique est une nécessité universellement reconnue, en vue de la garantie d’un système d’assurance qualité complet. C’est une composante de mesure que tout laboratoire devrait utiliser pour assurer qu’il produit des résultats précis et sûrs, la qualité des résultats étant extrêmement liée à la validation analytique. Dans le

7 [ 03156 ] [correction] Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u 1 Eléments d’algèbre linéaire Généralités d’algèbre linéaire Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Projecteurs Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E. a) Montrer que p et q ont même

Dans les programmes d’enseignement où l’on organise séparément des cours d’économétrie théorique et un cours d’économétrie appliquée, notre ouvrage constitue bien sûr un manuel approprié à ce dernier. Ce livre peut également être utilisé en complément d’un manuel essentiellement théorique. Je tiens à remercier TSP International pour m’avoir autorisé à reproduire ici des extraits de résultats produits avec le logiciel TSP, Herman Bierens pour avoir permis la reproduction de captures d’écran issues d’Easyreg

l’aptitude à se situer dans le monde naturel, technique, social et culturel où ils vivent, dans ses dimensions suisses et internationales, actuelles et historiques. CONDITIONS D’ADmISSION Résider à Genève et y avoir déposé ses papiers depuis plus d’un an. Les habitants du canton de Vaud ou de la France voisine sont admissibles sous certaines conditions. L’élève d’origine genevoise peut être admis quel que soit son domicile. Avoir une expérience professionnelle d’une année (50 % minimum ou 6 mois

10) On décompose la fraction rationnelle en éléments simples. Posons u = x + 1. La fraction devient x3 − x + 5 (u − 1)3 − (u − 1) + 5 u3 − 3u2 + 2u + 5 = 7 = . (x + 1)7 (x2 + x + 1) u ((u − 1)2 + (u − 1) + 1) u7 (u2 − u + 1) On effectue la division suivant les puissances croissantes de 5 + 2u − 3u2 + u3 par 1 − u + u2 5 +2u −3u2 +u3 1 −u +u2 −5 +5u −5u2 5 +7u −u2 −7u3 2 3 7u −8u +u −6u4 +u5 +7u6 −7u +7u2 −7u3 −u2 −6u3 u2 −u3 +u4 −7u3 +u4 7u3 −7u4 +7u5 −6u4 +7u5 6u4 −6u5 +6u6

CHAPITRE 1. POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES Produit de polynˆmes o n X p=0 m X p=0 Soient P,Q ∈ IK[x], (P Q)(x) = P (x)Q(x). Si P (x) = ap xp et Q(x) = bp xp , alors n+m X p X Ă (P Q)(x) = ak bp−k xp Ł p=0 k=0 d’o` d◦ (P Q) = d◦ P + d◦ Q. u On a P Q = QP , (P Q)R = P (QR) et P (Q + R) = P Q + P R. Exemple 1.1.2 Soient P (x) = 1 + x + x2 et Q(x) = 1 + x + 2x2 + 3x3 , on a (P Q)(x) = 1 + 2x + 4x2 + 6x3 + 5x4 + 3x5 . 1.1.1.3 Division euclidienne de polynˆmes ou division suivant les

On note, pour j ∈ N et m ∈ N∗ , Tj (m) = m 1) Montrer que k=1 [(k + 1)n+1 − kn+1 ] = kj . k=1 n j=0 n+1 Tj (m). j 2) En déduire une formule de récurrence sur n permettant de calculer Tn (m). 3) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , Tn (m) est un polynôme de degré n + 1 en m qui s’annule en 0 et −1. Solution 1) En utilisant la formule du binôme, on a n+1 (k + 1)n+1 = j=0 donc n+1 j k , j n (k + 1)n+1 − kn+1 = j=0 n+1 j k , j EI 5 et m m k=1 [(k + 1)n+1 − kn+1 ] = k=1 On peut intervertir

d’élaboration de la prévision..................................................................... 6 3.2. La prévision comme une aide à la décision.................................................................... 7 Chapitre 2 : LA DECOMPOSITION D’UN HISTORIQUE DES VENTES 1. 2. La notion d'historique ............................................................................................................. 9 Le calcul des statistiques de base et la présentation des données ..................