Division euclidienne

polynômes à coefficients réels et par [X ] le sous espace vectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et le 2 polynôme nul. On rappelle que la base canonique de [X ] est B = (1, X , X 2 ) . I. Changement de bases et division euclidienne 18. Etant donné trois réels deux à deux distincts a1, a2 et a 3 , on considère trois polynômes ⎧Q (a ) = 0 si i ≠ j ⎪ i j ⎪ ⎪ Q1, Q2 et Q3 de [X ] tels que ∀ (i, j ) ∈ {1,2, 3} ⎨ ⎪Qi (ai ) ≠ 0 ⎪ ⎪ ⎩ Démontrer que Q1, Q2 et Q3 sont linéairement

Q) = d ° P × d °Q d ° P ' = d °P − 1 si P ' ≠ 0 K n [ X ] est l’ensemble des polynômes P ∈ K [ X ] tels que d ° P ≤ n . Egalité de deux polynômes Deux polynômes sont égaux si et seulement si ils ont le même degré et les mêmes coefficients. Division euclidienne Si A et B appartiennent à K [ X ] et B ≠ 0 , il existe un unique couple (Q, R) de polynômes de K [ X ] tels que A = BQ + R et d ° R < d ° B . Si R = 0 , A est divisible par B ou multiple de B, et B est diviseur de A. Racines d’un polynôme Un

remplacée par son équivalent numérique x puis chiffrée par le calcul du reste de la division euclidienne par 26 de l'expression affine ax + b (soit ax + b \bmod 26). Ainsi pour chiffrer le mot CODE grâce au chiffre affine de clef (17,3), il faut d'abord le transcrire en série de nombres C O D E → 2 ; 14 ; 3 ; 4 appliquer ensuite la fonction affine 2 ; 14 ; 3 ; 4 → 37 ; 241 ; 54 ; 71 prendre les restes dans la division par 26 37 ; 241 ; 54 ; 71 → 11 ; 7 ; 2 ; 19 puis retranscrire en lettres 11 ;

Al-Khura Rizmi » (Bagdad 780-850). C’est lui qui nous apporta la numérotation arabe ainsi que les règles opératoires (*, +). Il avait ainsi définit la notion d’algorithme. Cependant la notion date de la Grèce antique (premier algorithme est la division Euclidienne découverte par Euclide en –300 avant JC. Elle permet de déterminer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre deux entiers). Une définition reconnue : une suite finie d’instructions décrivant un traitement sur un nombre fini de données structurées

(cela se fait au CE2). Mise en place de la technique opératoire de la multiplication · découverte de la loi des zéros, · utilisation de la loi des zéros et de la distributivité pour mener des calculs. La généralisation se fait au CE2 LA DIVISION Les variables didactiques · la taille des nombres correspondant au dividende et au diviseur : procédure de résolution par dessin, calcul mental ou pas. · la valeur du quotient : composé d'un seul chiffre, s'exprime par un nombre entier de dizaines

d’EUCLIDE(pour deux entiers naturels non nuls) Le théorème fondamental montre que l’on peut ramener la recherche du PGCD(a ;b) à la recherche du PGCD(b ;r) où b et r sont des entiers plus petits. On voit bien que le travail effectué sur a et b (division euclidienne) peut être recommencé sur b et r puis sur r et le nouveau reste obtenu et ainsi de suite….. Plus précisément : Soient a et b deux entiers naturels non nuls, a>b Si b divise a, PGCD(a ;b)= b Si b ne divise pas a : a = bq1 + r1 avec 0 < r1 <

reste après on a retranché le plus petit de la plus grande jusqu’à ce moment ou le reste est plus petit que le plus petit d’avant. Alors on tombe sur un reste qui mesure le plus petit reste d’avant. Ça va être notre PGCD. Alors il explique la division euclidienne avec des lignes. Ensuite il démontre sa démarche encore une fois avec un raisonnement par absurde en donnant une supposition faux et en faisant toute la démarche jusaq'à la contradiction. Il ajoute l’explication de la divisibilité et par

D´ecembre 2004 Ce document est la premi`ere partie d’un cours d’arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´eparant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Premiers concepts Division euclidienne et cons´ equences Congruences ´ Equations diophantiennes Structure de Z/nZ Sommes de carr´ es Polynˆ omes ` a coefficients entiers Fractions continues Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres

: 1 ≤ n ≤ 6 , calculer les restes de la division euclidienne de 5n par 13. 2) a – Montrer par récurrence sur n , que 5 4 n − 1 est divisible par 13 b – En déduire que : 5 4 n +1 − 5 , 5 4 n + 2 − 12 et 5 4 n + 3 − 8 est divisible par 13. c – Déterminer alors le reste de la division par 13 du nombre 5 2011 . 3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre A p défini par : A p = 5 2 p + 5 4 p a – Si p = 2 n , quel est le reste de la division de A p par 13. b – Démontrer que, si p =

de cours Chaque question de cours comportera un ´nonc´ de cours (th´or`me, d´finition, propri´t´s ...) et une e e e e e ee d´monstration ou la pr´sentation d’un exemple. e e 3. ch.11 : 3..1 Z Pr´sentation, propri´t´s e ee (*)Division euclidienne dans Z. D´mo ` partir de la DE dans N. e a (*)Corollaire : a congru ` b modulo n ssi le reste de la DE de a par n est ´gal au reste de la DE de b par n. a e D´monstration. e (***)Th : sous groupes de Z, +. D´monstration. e 3..2 3..2.1