Division euclidienne

peut additionner, soustraire, multiplier des développements limités de même ordre à condition de ne conserver que les termes de degré inférieur ou égal à l’ordre commun. La division est également possible, mais sous une forme particulière : la division selon les puissances croissantes (au lieu de l’habituelle division euclidienne qui est selon les puissances décroissantes). Par exemple on peut obtenir le développement limité au voisinage de 0 de suivante : On a à l’ordre 3 de la façon On peut également

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 . . . . . . 115 115 115 116 117 118 120 124 124 124 125 126 129 129 129 130 132 135 1 Divisibilité 1.1 Divisibilité dans Z . . . . . . . . 1.2 Division euclidienne . . . . . . . 1.3 Pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide 1.4 Congruences . . . . . . . . . . . 1.5 Grands théorèmes . . . . . . . . 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . 2 Nombres premiers 2.1 Généralités . . . . . . . . 2.2 Décomposition . .

perpendiculaire à (BC) passant par A’ ; tracer la droite Δ2 perpendiculaire à (AC) passant par B’ ; placer le point Ω intersection des droites Δ1 et Δ2 ; construire le cercle de centre Ω passant par A. 1 → –2 ; 1 0→– : 2 et – 2 n’a pas d’image (division par zéro impossible). 2 b) f(x) = x + 1 . x–2 Activité 2 1 On peut inverser les deux premières étapes mais cela conduit à des calculs un peu moins simples (somme de fractions). 2 Une possibilité : on multiplie les deux membres par 3 ; on soustrait

; on soustrait 3 aux deux membres ; on divise par 8 les deux membres. et il est impossible d’obtenir – 9 car un carré est toujours positif. c) f : x → (2x + 3)2. 2 a) 8 → 65 ; 6 1 → –2 ; 1 0→– : 2 et – 2 n’a pas d’image (division par zéro impossible). 2 b) f(x) = x + 1 . x–2 3 Objectif : déterminer les coordonnées du point D tel que ACDB soit un parallélogramme (éventuellement aplati). 4 Lire b et c. Calculer le carré de b. Calculer le carré de c. Ajouter les

degré n (n ≥ 1) a une racine réelle x = a, alors on peut factoriser P(x) par (x – a) , on a : P(x) = (x – a) Q(x) où Q est une fonction polynôme de degré n – 1. Exemples : [pic], [pic]. c. Méthode de la division Si a est une racine du polynôme P, on effectue la division euclidienne de P(x) par (x – a) pour obtenir Q(x). Exercice 1 : Soit [pic]. Montrer que 2 est une racine de P. Factoriser le polynôme P par [pic]. II. Trinôme du second degré 1. Définition On appelle

Définition : Un algorithme est une suite finie d’opérations élémentaires, à appliquer dans un ordre déterminé, à des données. Sa réalisation permet de résoudre un problème donné. Exemples : suivre une recette de cuisine, suivre un plan, faire une division euclidienne à la main sont des exemples d’algorithme. Remarques : 1. Un algorithme doit être lisible de tous. Son intérêt, c’est d’être codé dans un langage informatique afin qu’une machine (ordinateur, calculatrice, etc.) puisse l’exécuter rapidement

suffisamment stimul´ee pour qu’ils souhaitent aller plus loin dans l’approfondissement de leur apprentissage math´ematique d’une part et de leur connaissance de ces domaines passionnants d’autre part. 3 4 Table des mati` eres 1 Arithm´ etique 1.1 Division euclidienne . . . . . 1.2 pgcd et ppcm . . . . . . . . . 1.3 Th´eor`eme de B´ezout . . . . . 1.4 Algorithme d’Euclide ´etendu 1.5 Quelques cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

comprend un chiffre différent de 0 -le second est une puissance de 10 à exposant entier (positif ou négatif). Puissances de 10 Les puissances de 10 à exposant positifs sont généralement des grands nombres. Parenthèse Exposant Multiplication Division Addition Soustraction Chapitre 2 Une isométrie : c’est une transformation du plan qui conserve les mesures. Symétrie orthogonale Définition <<Le point A’ est l’image du point A par la symétrie orthogonales d’axes d >> signifie que d est la médiatrice

Correction exercice 19 Exercice 20. Déterminer le reste de la division euclidienne de (? + 1)? par ? 2 + 1. Allez à : Correction exercice 20 Exercice 21. Quel est le reste de la division euclidienne de ? = ? ? + ? + 1 par ? = (? − 1)2 ? Allez à : Correction exercice 21 Exercice 22. Quelle est le reste de la division euclidienne de ? ? par (? − 1)2 Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23. Soit ? ∈ ℝ[?] le reste de la division euclidienne de (? + 1)? par (? − 1)2 . Déterminer ?. Allez à : Correction

justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0. 1. Le reste dans la division euclidienne de par 10 est : □  2 □  4 □  6 □  8 2. Les solutions de l’équation d’inconnue  sont les couples (où k  ) de la forme : □  (1 + 8k ; 1 – 4k) □  (4k + 5 ; – 2 k – 1) □  (5 – 4k ; 2k – 1) □  (2k + 1 ; 1 – k) 3. Pour tout entier n