Division euclidienne

Polynˆmes et nombres complexes o Table des mati`res e 1 Polynˆmes o 1.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . 1.2 Fonction polynˆme . . . . . . . . . . . o 1.3 D´composition en facteurs irr´ductibles e e 1.4 Polynˆme d´riv´e . . . . . . . . . . . . o e e 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 6 7 2 Nombres complexes 2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 20 3 Suites 3.1 Exercices

Traitement : Tant que K \leq 4 : Affecter à U le chiffre des unités de P ; Affecter à K la valeur K + 1 ; Affecter à S la valeur S + K × U ; Affecter à P la valeur \frac{\text{P - U}}{10} ; Affecter à R le reste dans la division euclidienne de S par 7 ; Affecter à C la valeur 7 - R. Sortie " la clé " : Afficher C. a) Faire fonctionner l'algorithme avec N = 2282 et vérifier que la clé qui lui correspond est 3. On prendra soin de faire apparaître les différentes étapes

euros. Collège F. Joliot Currie Lallaing 6ème DIVISIONS N8 A) DIVISION EUCLIDIENNE (ou division entière) : 1) Définitions : Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 56 par 5 , c’est répondre à la question : « Dans 56, il y a combien de fois 5 ? Combien reste-t-il ? » Mathématiquement, on écrit : 56 = ( 11 × 5 ) + 1 Le quotient est 11. Le reste est 1. De manière générale : Donner le quotient et le reste de la division euclidienne du nombre entier a par le nombre entier b, c’est

indémontrable ou indémontrée que le mathématicien demande au lecteur d'accepter. Le postulat n'est pas forcément " évident " contrairement à l'axiome. Euclide s’est aussi intéressé à l’arithmétique dans le livre VII. Il a défini la division (que l’on appelle division euclidienne) et un algorithme, l’algorithme d’Euclide, pour calculer le plus grand diviseur commun de deux nombres (le PGCD). Euclide est aussi l’auteur des Données et de L’optique et la catoptrique. Mais ses écrits Les Surfaces, les Porismes

Montrer que, si M est un point de l’axe des réels, différent de O et de A, alors M’ appartient à la droite (CD). EXERCICE 4 : spécialistes (5 points) 1. a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7n. b. Démontrer alors que (2005)2005 ≡ 7 (9). 2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : (10)n ≡ 1 (9). b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix c’est à dire : N = [pic]= [pic]et on appelle S la somme

observant les calculs de la méthode précédente, on peut remplacer les deux premières étapes par une seule : 1326 – 2 × 546 = 234. 234 est en fait le reste de la division euclidienne de 1326 par 546. La méthode s’appuie donc sur le fait qu’un diviseur commun à 1326 et 546 est aussi un diviseur commun à 546 et au reste (234) de la division euclidienne de 1326 par 546. Si a = bq + r alors PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r ) 1326 = 2 × 546 + 234 donc PGCD(1326 ;546) = PGCD( 546 ;234) 546 = 2 × 234 + 78. donc

a) Dresser un arbre de probabilité b) Calculer la probabilité pour que l’automobiliste rencontre i) Deux feux verts. ii) Au moins un feu vert. Ex 2 : (candidat de spécialité Maths) c) Quel est le reste dans la division euclidienne de 2341 par 7 ? d) i) Ecrire l’algorithme d’Euclide pour déterminer PGCD(145 ;55) ii) Déterminer un couple (u,v) d’entiers relatifs tels que 145u+55v= PGCD(145 ;55) |BAC Série S - Oraux

a - b Î n). Réciproquement, soit (H, +) un sous-groupe de (, +). Alors H est non vide. Si H = {0}, alors H est bien de la forme n avec n = 0. Supposons désormais H ¹ {0}. Posons : n = min{x Î H, x > 0} Î H Ç  Soit h Î H. On effectue la division euclidienne de h par n : $!(q, r) Î 2, h = nq + r avec 0  r < n Or, n Î H et H est un groupe, donc : Or, h Î H et H est un groupe, donc : nq Î H h - nq Î H rÎH Et comme 0  r < n, on a nécessairement : D'où : r=0 h = nq h Î n H Ì n Enfin, comme n Î

Pr´sentation des polynˆmes . . . . . . . . e o 1.2 Lois sur k[X] . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . 1.4 Z´ros d’un poynˆme . . . . . . . . . . . . e o 1.5 Polynˆme d´riv´ . . . . . . . . . . . . . . o e e 1.6 Formules de Mac-Laurin et de Taylor . . . 1.7 Ordre de multiplicit´ d’une racine . . . . . e 1.8 Th´or`me de d’Alembert . . . . . . . . . . e e 1.9 Division suivant les puissances croissantes 3 3 4 5 7 7 10 11 12 13 14 14 15 17 19 . . . . . . . .

premiers inférieurs à n. Calcul du PGCD : décomposition en facteurs premiers (produit des facteurs communs élevés à la plus faible puissance), utilisation de la propriété PGCDp;q=PGCDq;p-q, Algorithme d'Euclide (division euclidienne successive en divisant à chaque fois par le reste de la division). Utilisation du PGCD : déterminer l'ensemble des diviseurs communs à 2 nombres, rendre une fraction irréductible, vérifier que 2 nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1). PPCM : décomposition en facteurs