Division euclidienne

correspondant au message plus le code de contrôle soit divisible par le polynôme générateur. En réception : le message reçu qui contient les données et le CRC doit être divisible par le polynôme générateur. On vérifie donc par une division euclidienne en base 2 que le reste de la division est nulle. Ann´ee 2003-2004 – p.13/22 Le CRC (3) Émission d’un mot : On choisit un polynôme générateur puis on le transforme en un mot binaire. Exemple : avec le polynôme générateur x4 + x2 + x, on obtient 10110. On ajoute

< x + y +2 Puisque cette inégalité concerne des entiers, on peut transformer cette inégalité stricte en l’inégalité large suivante x+y Exercice 3 : [énoncé] Si x x < x + 1/2 et y Exercice 5 : [énoncé] Posons m = nx et réalisons la division euclidienne de m par n : m = nq + r avec 0 r n − 1. On a nq + r nx < nq + r + 1 donc pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1} : x + y +1 y < y + 1/2 alors Si k + r < n alors x + Par suite n−1 x + y = x + y , 2x = 2 x et 2y = 2 y puis relation

7n  1[32] b. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7 , montrer que si le couple (n ; m) vérifie la relation (F) , alors n est divisible par 4. c. En déduire que si le couple(n ; m) vérifie la relation (F), alors : 7 n  1 [5] d. Pour m 5, existe-t-il des couples (n ; m) d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation (F) ? (raisonner par l’absurde) (indication : on pourra étudier et utiliser les restes de la division par 5 des puissances de 2) 3. Conclure , c’est-à-dire

������[������] 2.) Soit n un entier relatif, pgcd(3n+2 ;3n+5) divise : a2 b 3 c 5 3.) L’équation (E) : 5x+18y = 25 , admet dans ℤ × ℤ : a zéro solution b Une seule solution c une infinité de solution 4.) Le reste de la division euclidienne de -21 par - 5 est : a -3 b 2 c 3  Exercice 2 : On considère la matrice A telle que : A= ������ 1.)a. Calculer det(A). b. En déduire que A est inversible. 2.) Montrer que ������−������ = ������ ������ ������ ������

1 + i 2 2 ; zB = − 1 3 + i 2 2 et z C = z B − z A 1) Soit z un nombre complexe vérifiant : z + 2z = 11 + 8i alors l’écriture cartésienne de z est : a) z = 4 + 3i b) z = 3 − 4i c) z = 3 + 4i 2) L’écriture 71 = 7 × 9 + 8 est la division euclidienne de 71 par : a) 8 b) 9 c) 7 3) Soit l = lim a) b) c) 1) a) Ecrire z A et z B sous forme trigonométrique. b) Montrer que OAB est un triangle rectangle isocèle. 2) a) Montrer que OABC est un parallélogramme. b) En déduire la forme trigonométrique

combien de lancer s’arrête-t-on ? 2. Écriture des entiers Nous allons faire un peu d’arithmétique : le quotient de la division euclidienne //, le reste % (modulo) et nous verrons l’écriture des entiers en base 10 et en base 2. Nous utiliserons aussi la notion de listes et le module math. 6 2.1. Division euclidienne et reste, calcul avec les modulo La division euclidienne de a par b, avec a ∈ Z et b ∈ Z∗ s’écrit : a = bq + r et 0 r precision) : # boucle tant que la precision pas

10 X 23 L 11 Y 24 M 12 Z 25 a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de Ω le reste de la division euclidienne de (an + b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante. Exemple : pour coder la lettre P avec a = 2 et b = 3, on procède de la manière suivante : étape 1 : on lui associe l’entier n = 15. étape 2 : le reste de la division de 2 × 15 + 3 = 33 par 26 est 7. étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H. 1. Que dire alors du codage

factor(expr) Factorisation dans  [X ] factor(expr, Touches b32 var) Factorisation dans le corps cFactor(expr) des complexes ou cFactor(expr, var) Touches b3A2 PGCD de deux polynômes polyGcd(poly1, poly2) Touches b363 Quotient et reste dans la division euclidienne de deux polynômes Touches b362 polyQuotient(poly1, poly2) polyRemainder(poly1, © T³ France 2008 / Photocopie autorisée poly2) Touches b361 8 Journées d’Été 2008 Racines d'un polynôme zeros(expr, var) Racines dans le corps des

n + m = deg(P) + deg(Q) . Si les coefficients ne sont pas réels, on peut ne pas avoir l'égalité deg(PQ) = deg(P) + deg(Q) Dans  4 , considérer P = 2 X et Q = 2 X (deg(P) = deg(Q) = 1) PQ = 2 X ´ 2 X = 4 X = 0 , donc deg(PQ) = -¥ 2 2. Division euclidienne d'un polynôme A par un polynôme B (non nul) Dans ce paragraphe, les polynômes considérés sont à coefficients réels (ou dans un corps commutatif ). On rappelle que dans ce cas, si A et B sont des polynômes non nuls, on a : deg(AB) = deg(A)

• Soient a, b et c trois entiers relatifs, a etant non nul. Si a|b et a|c, alors pour tous entiers relatifs & et !, a|(&b+!c). 2/Division euclidienne dans Z. Soient a et b deux entiers naturels, b etant non nul. Il existe un couple (q, r) d'entiers naturels et un seul tel que a = bq + r et 0 =< r < b. q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de a par b. 3/Congruences dans Z. Soit n un entier naturel superieur ou egal a 2. Soient a et b deux entiers relatifs. On dit