Division euclidienne

2 = 2 + 2 d) 1024 = (2 ) 1024 = 212 10 10 9 f) 1024 = (0,5) × 4 g) 1024 = Le double de 2 10 2 11 h) 1024 = La moitié de 2 MA 1 2) Si M est le point du segment [ AB ] tel que = alors M est le milieu de [ AB ] . MB 2 e) 3) Le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entier b est un multiple du pgcd(a,b). 4) n + 1 − n et Exercice n°4 1) Soit n + 1 + n sont inverses. E = ( 3 + 1)−2 + ( 3 − 1)−2 . Montrer que E est un entier. 3−4 + 6−4 2 −4 + 4 −4 = = 16 6 −4 + 12−4 4 −4 + 8−4

DOSSIER DE MATHEMATIQUES Sommaire Chapitre 1: Opération sur les nombres décimaux Chapitre 2: Division des nombres entiers Chapitre 3: Écriture fractionnaire d'un nombre Chapitre 4: Repérage dans le plan Chapitre 5: Calcul de proportionnalité Chapitre 1: Opération sur les nombres décimaux Dans ce chapitre nous allons apprendre a additionner,soustraire et multiplier les nombres décimaux Par exemple: addition et soustraction Mettre la partie décimal a droite et la partie entière

produit de facteurs premiers. ; ; ; . Correction EXERCICE 1 Indication : On effectue les divisions du nombre donné par les nombres premiers successifs, sans omission. Si le reste est nul, le nombre n'est pas premier. Si aucun des restes n'est nul, on continue jusqu'à ce que le quotient devienne égal ou inférieur au diviseur. Le nombre donné est alors premier. 1.On effectue la division du nombre 97 par : 2 97 n'est pas divisible par 2 car son dernier chiffre 7 n'est pas pair. 3 97

applications ´e — La th´orie axiomatique des ensembles 8 — El´ments de th´orie na¨ des ensembles 9 — Applications 11 e e ıve 2 Les entiers naturels — L’ensemble I et la r´currence 14 — Ensembles finis 15 N e 3 Arithm´tique e — Divisibilit´ et division euclidienne 18 — Plus grand commun diviseur 19 — Th´or`me de Bezout 20 — Nombres e e e premiers 22 4 Structures alg´briques g´n´rales e e e — Relations binaires et lois internes 24 — Groupes 25 — Anneaux et corps 27 24 29 5 Le corps des r´els

exercice, on s'intéresse à la propriété « le nombre 3 2n – 2n est divisible par 7 », où n est un nombre entier naturel. 1. a) Existe-t-il un nombre entier naturel n pour lequel cette propriété est vraie? Justifier. b) Quel est le reste de la division euclidienne de 32 par 7 ? 2. a) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, 9(32n – 2n) + 7  2n = 32(n + 1) – 2n + 1 b) En utilisant l'égalité précédente démontrer que, si pour un certain entier naturel n, 32n – 2n est divisible par 7, alors 32(n

Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) : n8 ≡ 1 mod d . 2. Recherche de critères Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que n k ≡ 1 mod d . a. Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s, montrer que s divise k. b. En déduire que s est un diviseur de 8. c. Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d −1. On pourra utiliser le petit théorème de Fermat. 3. Recherche des diviseurs premiers de

dans les produits des a e e tables de multiplication. Si l’on ne prend en compte que les premiers chiffres des produits, une loi de r´partition remarquable peut ˆtre mise en ´vidence (loi de Benford). e e e Exercice 6** 1. En effectuant une division euclidienne, on obtient : 1 = 0, 0588235294117647 0588235294117647 . . . 17 Chiffres Fr´quences e 0 1 16 1 2 16 2 2 16 3 1 16 4 2 16 5 2 16 6 1 16 7 2 16 8 2 16 9 1 16 2. Il suffit de choisir le nombre r´el : e x =

|objets |techniques opératoires (addition, |(motifs, accords, variations, formes). | |à en peser la valeur |soustraction,multiplication, division euclidienne) |reconnaître une situation de proportionnalité, une | |Chevaucher |la recherche documentaire |fonction linéaire ou affine, utiliser des | |Copier

que P(x) = &(X)(X - z) + bo. (le polynôme Q(x) s’appelle par définition le quotient de la division euclidienne de P(x) par x - z). 3.6. L’application mpét& du schéma de Horner permet egalement de calculer les dérivées successives et le polynôme de Taylor. 3.6.a. On considère le polynôme Pc de la question (3.4.). On appelle Pr le polynôme quotient de la division de Pc par x - 2, P2 le quotient de la division de Pr par x - 2, et ainsi de suite jusqu’à PS. On trouve ces polynômes par applications successives

l’intersection de l’ensemble (S) avec le plan d’équation x = 0 ? − − → → Représenter cette intersection dans le repère O ; j ; k . 3. Dans cette question, x et y désignent des nombres entiers naturels. a. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de x2 par 7 ? b. Démontrer que 7 divise x2 + y 2 si, et seulement si, 7 divise x et 7 divise y. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation