Droit réel

(n + 1)wn+1 = (n + 2)wn + 1. La démonstration principale s’écrit alors http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés. wn+1 = (n + 2)wn + 1 (n + 2)(2n + 1) + 1 2n2 + 5n + 3 (n + 1)(2n + 3) = = = = 2n + 3 = 2(n + 1) + 1. n+1 n+1 n+1 n+1 http ://www.maths-france.fr 2 c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés. EXERCICE 2 PARTIE I 1) D’après un théorème de croissances comparées, on a lim lim xe−x = lim ex = +∞. On en déduit que x x→

 par f ( x)   a) Déterminer la limite de la fonction f à droite en 0. b) Déterminer la limite de la fonction f en + ∞. 3. On note f  la fonction dérivée de la fonction f. a) Calculer f ( x) et montrer que pour tout réel x de l’intervalle 0,  , on a : f ( x)  b) c) d) e) En déduire le tableau de variations de f. Déterminer le signe de f ( x) pour tout réel x supérieur ou égal à e. Montrer que la droite ‫ 5 − ݔ2 = ݕ :ܦ‬est une asymptote à Cf   Tracer la courbe représentative

(du moins jusqu’en seconde...). Il est usuellement représenté par une droite graduée et est noté R. Chaque nombre réel est représenté par un point de la droite graduée, et tout point de cette droite représente un réel. − 23 0 1 2 7 π Remarque : l’ensemble R contient les rationnels, mais aussi les nombres comme 2, π appelés irrationnels. 6) Lien entre les ensembles de nombres Chaque rationnel est réel, on dit que l’ensemble Q est inclus dans l’ensemble R, ce que l’on note

Corrigé du baccalauréat S Liban 3 juin 2010 E XERCICE 1 Partie A 5 points ROC : On suppose connus les résultats : e0 = 1 et pour tous réels x et y, ex ×e y = ex+y . 1 1. Pour tout réel x, ex × e−x = ex−x = e0 = 1 donc e−x = x . e 2. Pour tout réel x, on démontre par récurrence la propriété P (n) : (ex )n = enx . – (ex )0 = 1 = e0×x . Donc P (0) est vraie. – Soit n, un entier, on démontre que la propriété se transmet de n à n + 1. On suppose que (ex )n = enx alors (ex )n+1 = (ex )n × ex =

y + 3z + 1 = 0 et la droite D dont une représentation paramétrique est   x = 2t   y = 1+t , t ∈R z = −5 + 3t On donne les points A(1 ; 1; 0), B(3 ; 0 ; −1) et C (7 ; 1 ; −2) Proposition 1 :    x = 5 − 2t Une représentation paramétrique de la droite (AB) est y = −1 + t   z = −2 + t , t ∈R Proposition 2 : Les droites D et (AB) sont orthogonales. Proposition 3 : Les droites D et (AB) sont coplanaires. Proposition 4 : La droite D coupe le plan P au

même demi-droite d’origine O. b) Déterminer l’ensemble des points M de P \ {O} tels que f (M) = M. c) M est un point du plan P distinct de O, U et V ; on admet que M’ est aussi distinct de O, U, et V. Etablir l’égalité En déduire une relation entre arg et arg 3) a) Soit z un nombre complexe tel que z ≠ i et soit M le point d’affixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si est un nombre réel non nul. b) Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée

; 3). On note D la droite ayant pour représentation paramétrique   x = t +1 y = 2t − 1 , t ∈ R  z = 3t + 2   x = k +1 ′ y = k + 3 , k ∈ R. et D la droite ayant pour représentation paramétrique  z = −k + 4 On note P le plan d’équation x + y − z + 2 = 0. Question 1 : Proposition a. Proposition b. Proposition c. Proposition d. Les droites D et D ′ sont parallèles. Les droites D et D ′ sont coplanaires. Le point C appartient à la droite D. Les droites D et D ′ sont orthogonales

erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0. 1. Pour tout réel x, ex désigne l’image de x par la fonction exponentielle. Affirmation 1. a Pour tous les réels a et b : (ea )b = e e ab . a Affirmation 1. b Pour tous les réels a et b : ea−b = Affirmation 1. c La droite d’équation y = x + 1 est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1. eb .

Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0. Déterminer les racines de P revient alors à résoudre l’équation P(x) = 0. b - Théorème Si le nombre réel a est une racine de P , on peut factoriser P (polynôme de degré n) par (x-a), c’est-à-dire qu’il existe une fonction polynôme Q de degré (n-1) telle que pour tout réel x, P(x) = (x-a) Q(x). II. TRINOME 1° Définitions Un trinôme est un polynôme du second degré, c’est-à-dire de la forme : P(x) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0. Résoudre

(1 , 2), (0 , 2) ; — la courbe C passe par le point B et la droite (BC) est tangente à C en B ; — il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x, a + b ln x . x 1. a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f ′ (1). (b − a) − b ln x . b. Vérifier que pour tout réel strictement positif x, f ′ (x) = x2 c. En déduire les réels a et b. f (x) = 2. a. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0, +∞[, f ′ (x) a le même signe