Droit réel

direct (O, i , j ). Pour tout réel m, on considère la droite Dm : (1 − m2 )x + 2my + (m2 − 2m − 3) = 0. 1◦ ) Justier que pour tout réel m, Dm est bien une droite du plan. Préciser un vecteur directeur de cette droite. 2◦ ) Existe-t-il un point commun à toutes les droites Dm ? 3◦ ) Déterminer l'ensemble E des points M du plan par lesquels passe au moins une droite Dm . On représentera cet ensemble. Montrer que dans le cas où des droites Dm existent alors les droites sont tangentes à un cercle que

utilisés avec succès depuis des années en physique. Mesures algébriques, valeurs absolues Figure 1 : L'axe normé, le vecteur unitaire, la mesure algébrique A. De  la  droite  à  l’axe  normé Nous considérons une droite (x’x) sur laquelle nous choisissons une origine, notée O, un sens, de x’ vers x et une unité u. La  droite  devient  ainsi  l’axe  normé  ( Ox ). Remarque : en Physique, le Système International fixe le mètre (m) comme unité légale de distance. Cependant  tous

la fonction f est dérivable en a s'il existe un nombre réel L, tel que : [pic]. L est appelé le nombre dérivé de f en a. 2) Tangente à une courbe Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I. L est le nombre dérivé de f en a. A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative [pic] de f. Définition : La tangente à la courbe [pic] au point A est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé

Limites de suites (3) • Si un réel M est un majorant d’une suite u, alors tous les réels supérieurs ou égaux à M sont aussi des majorants de la suite u. I. Rappels sur les suites majorées, minorées, bornées • Si un réel m est un minorant d’une suite u, alors tous les réels inférieurs ou égaux à m sont aussi des minorants de la suite u. 1°) Définition 1 (suite majorée, minorée, bornée) u est une suite. • On dit que u est majorée pour exprimer qu’il existe un réel M tel que ∀ n ∈ N un Cette propriété

celui des aiguilles d’une montre. La longueur d’un cercle trigo­nométrique est 2. 2) Enroulement de la droite réelle sur un cercle trigonométrique Soit A (1, 0) et A’ (- 1, 0). Soit  la droite passant par A et parallèle à l’axe des ordon­nées. On enroule  sur C. Pour x réel, le point P d’abscisse x de  s’applique sur un point M unique de C. Tout point M de C est l’image d’un réel x. Mais il est aussi l’image des réels x + 2, x + 4, x - 2, etc …Il est l’image de tous les réels de

alors f est strictement décroissante sur I. BLes extremum locaux d'une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I : si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f′(a)=0. Si f′ s'annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f. f′ peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0. Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative

du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires purs. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Module et conjugué d'un nombre complexe On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, le réel positif |z| = |z| = 0 ⇔ z = 0 |zz'| =

mathématique de cette variable est −3 • l’espérance mathématique de cette variable est 0 4. Pour tout a > 0, ln 3a − ln a est égale à : • ln 3 1 • ln(2a) • 2ln a 5. 0 e2x+1 dx est égale à : • 2e3 − 2e e3 − e 2 • e3 − 1 • 6. Pour tout réel x, e4+2x est égale à : • e2 2x • ex+2 2 • e4 + e2x E XERCICE 2 Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 5 points Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à 10−3 près. Une étude sur le taux d’équipement

 , ) est le repère orthonormal direct associé au cercle trigonométrique c de centre O. La droite d, i j tangente à c en A et munie du repère (A , ) représente l'ensemble des nombres réels. j définition : Pour un réel t repéré sur la droite d, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle c par "enroulement" de la droite d sur le cercle. On dit que M est le point image sur le cercle du réel t . Exemples : π repère le point B. Donner d'autres réels permettant de repérer B : – 3π ; 5π

Continuité et limites Continuité 4ème Math  et limites 4 L’essentiel du cours ème Math  L’essentiel du cours I/ Opérations sur les limites Soit L et L deux réels. Les résultats qui suivent concernent les opérations sur les limites en un réel ou à l’infini. lim f lim g lim  f + g  L L    L  L   L  L     lim f lim f L L     lim f lim g lim  f  g  L      L L  0 L  0    L  L      lim f L   lim f lim