Droit réel

complexes Partie réelle, partie imaginaire La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels. Si z = a + ib où a R et b R, a est la partie réelle de z, notée Re(z), et b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). La partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe sont des nombres réels. Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle. Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. Egalité

IR , b ∈ IR On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires purs. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. le réel positif |z| = |z| = 0 ⇔ z = 0 a2 + b 2 . ; |zz'| = |z|.|z'| ; |- z| = |z| ; 1 = 1 |z| z

sous forme exponentielle. b) En déduire la forme exponentielle de z12 , z26 , z1 z2 , z12 z23 , z4 z1 et 1 3 . z2 z2 Lesquels de ces nombres sont réels ? imaginaires purs ? c) Pour quelles valeurs de l'entier n le nombre ( z2 ) n est-il un réel positif ? un imaginaire pur ? π i 3. a) On considère le nombre complexe z = e 3 . Donner la forme exponentielle de z , − z , iz et 1 . z iπ b) Reprendre les mêmes questions pour z = 3 e 3 . c) Généraliser au cas où z = reiθ . III) Equations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Limite finie en +∞, en −∞ – Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Limite en un réel a 7 2.1 Deux exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Limite infinie en un réel a – Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Cas des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cartésienne de . 2) Donner l’équation de la droite parallèle à passant par C. Passe-t-elle par le point D ? 3) Que peut-on en déduire concernant les droites et ? 4) Donner une équation cartésienne de . 5) Déterminer les coordonnées du point d’intersection entre et . Exercice 4 2 points Démontrer le théorème de cours suivant : Soit un repère, d une droite. Les coordonnées , où a, b et c sont des réels avec de tous les points M de la droite d, vérifient une équation de la forme

Terminale S juin 2010 Liban 1. Exercice 1 (5 points) Partie A Restitution organisée de connaissances. On supposera connus les résultats suivants : * e0 = 1 . 1. Démontrer que pour tout réel x, e− x = * Pour tous réels x et y, ex × ey = ex + y . 1 ex . 2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, ex Partie B ( ) n = enx . e− nx 1 + e− x On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer

(Terminale S1) Jeudi 17 Novembre 2011 (1h) Problème (20 points) : PARTIE A : Soit f la fonction définie sur \ 1 ;2 . par f(x)= . Soit Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé. 1. Montrer que pour tout réel x∈D, 2. Montrer qu’il existe trois réels a,b et c(où c 0 , - : − ∞ − 1[∪] − 1; 2 − √2[∪]2 − √2; +∞[ d’où f est strictement décroissante sur 42 − √2 ; 2[ ! , - ]2 ; 2 + √2: et f est strictement croissante sur < , /=! -> 0 ! lim x − 2 = 0 Avec x-22

SECOND DEGRE ET PARAMETRES 1 C Soit l’équation yx² - 2yx – 2x + y + 3 = 0. Résoudre dans R cette équation : a) b) d’inconnue x où y est un paramètre réel d’inconnue y ou x est un paramètre réel. 2 C 3C Déterminer m pour que l’équation : mx² - 2(m – 1) x + 3m + 2 = 0 admette 1 pour racine. Déterminer l’autre racine m est un réel différent de 2. On considère l’équation d’inconnue x : (m – 2) x² + 5x + 7 – m = 0 a) Démontrer que, quel que soit m, - 1 est racine de cette équation. b) Déterminer

Chapitre 1 Fonction d'une variable réelle I Fonctions et courbes de référence Soit f une fonction définie sur un intervalle I sur R, on appelle représentation graphique de f, l'ensemble Cf des points de coordonnées ( x ; f(x) ) avec x ₤ I. La courbe Cf a pour équation y = f(x). 1/ La fonction affine On appelle fonction affine toute fonction f définie sur R par f(x) = ax + b où a et b sont deux réels donnés. Remarque si a = 0 alors f(x) = b, la fonction f est constante. si b

par se situer au dessus de n’importe quelle droite horizontale . Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme [ a ; + ∞ [ où a est un réel . Si « f ( x ) est aussi grand que l’on veut dès que x est assez grand » , alors on dit que f a pour limite + ∞ en + ∞ . On note :  → j lim f ( x ) = + ∞ x → +∞  → O i Rem : De manière plus mathématique ( moins intuitive … ) : Pour tout réel M > 0 , il existe un réel m tel que , si x > m , alors f ( x ) > M .