Droit réel

alors ac < bd. En effet, si a < b, alors ac < bc car c > 0. De plus, si c < d, alors bc < bd car d > 0. On en déduit : ac < bd. c) Encadrement Soient a, b et x trois nombres réels. On dit que a et b encadrent x lorsque a ≤ x ≤ b. Exercice : x est un réel tel que –1 < x < 2. On pose B = -2x – 3. Trouver un encadrement de B. II. Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses a) Passage au carré, à la racine carrée Propriété : a et b étant deux nombres positifs distincts, a < b équivaut

II. Enroulement de la droite numérique 1) Définition de l’enroulement Dans un repère orthonormé (   O ; i ; j , on considère le cercle ) trigonométrique et une droite (AC) tangente au cercle en A et orientée  telle que A ; j soit un repère de la droite. ( ) Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 2 sur 8 Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d’abscisse x de la droite orientée un unique point M du

lim ƒ(x) = (resp. lim ƒ(x) = ) alors la droite d'équation y = x →−∞ (resp. en −∞) • x→a ∗ lim ƒ(x) = +∞ ou lim∗ ƒ(x) = −∞ alors la droite d'équation x = a est une asymptote verticale à Cƒ. x→a (x → a* signifiant que x → a ou x → a+ ou x → a−) • x →+∞ lim (ƒ(x) − (ax + b)) = 0 (resp. lim (ƒ(x) − (ax + b)) = 0) alors la droite d'équation y = ax + b est une x→−∞ asymptote oblique à Cƒ en +∞ (resp. en −∞) Exemple : montrer que la droite d'équation y = x est une asympote oblique

Chapitre 7 : Calcule de limite. Une fonction réelle f est continue en x=a si lim f(x) = f(x). Une fonction réelle f est discontinue en x=a si elle n'est pas continue en x=a Le domaine de continuité d'une fonction est l'ensemble des réels en lesquels elle est continue. On le note dom f . Chapitre 8 : Les asymptotes. Une asymptote à une branche infinie de courbe est une droite telle que la distance d'un point de la courbe à la droite tend vers zéro lorsque le point s'éloigne à l'infini

de f puis montrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à la courbe C . 3. Soit f la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f (x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. 2. En déduire le signe de g sur ]0 ; +∞[. 4. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ puis dresser le tableau de variations de la fonction f . 5. Déterminer le point A de la courbe C en lequel la tangente T est parallèle à la droite D. → → − − 6. Dans le repère O, ı ,  tracer les droites D et T et la courbe C

définition : sin(x) et cos(x) existent quelque soit le réel x : leur ensemble de définition est donc l'ensemble des nombres réels R tan(x) et sec(x) n'existent que si cos(x) n'est pas nul car tan(x)=sin(x)/cos(x) etsec(x)=1/cos(x) cotan(x) et cosec(x) n'existent que si sin(x) n'est pas nul car cotan(x)=cos(x)/sin(x)et cosec(x)=1/sin(x) Or : cos(x)=0 si le réel x est de la forme pi/2+k.pi quelque soit l'entier relatif k sin(x)=0 si le réel x est de la forme k.pi quelque soit l'entier relatif k

exponentielle est strictement croissante sur  −∞ ; 0  . e) La fonction exponentielle est dérivable donc continue. f) La dérivée de la fonction f : x e x − 1 est e x donc f est une fonction strictement croissante ; par conséquent, il existe un seul nombre réel x 0 ≥ 0 tel que f ( x 0 ) = 0. g) Pour tout x ∈] − ∞ ; 0[, e–x ex = 1. 3 3 +3  3 h) On a  e 2  = e 2 .   i) La dérivée de x e x 1 2 e x est x . j) Une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse

nette ou valeur réelle | Quelle est l'origine de ce poste ? L'entreprise a acheté à un particulier ou une entreprise le droit d'exploiter une invention, un actif pendant une durée fixée. Le montant brut est la valeur qui a été payée pour cette acquisition. La valeur de ce droit diminue au fur et à mesure que le temps passe et qu'on s'approche de l'échéance. Par la technique de l'amortissement,   la valeur d'acquisition du brevet est répartie sur les années pendant lesquelles le droit est exercé, et

ƒ(x) = ) alors la droite d'équation y = x →−∞ est asymptote horizontale à Cƒ en +∞ (resp. en −∞) • lim ƒ(x) = +∞ ou lim∗ ƒ(x) = −∞ alors la droite d'équation x = a est une asymptote verticale à Cƒ. x→a ∗ x→a (x → a* signifiant que x → a ou x → a+ ou x → a−) • lim (ƒ(x) − (ax + b)) = 0 (resp. lim (ƒ(x) − (ax + b)) = 0) alors la droite d'équation y = ax + b est une x →+∞ x→−∞ asymptote oblique à Cƒ en +∞ (resp. en −∞) Exemple : montrer que la droite d'équation y = x

cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M ′ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement. d) Montrer que, si M est un point de l’axe des réels d’affixe a ∈ , différent de O et de A, alors M ′ appartient à la droite (CD). On pourra commencer par calculer l’affixe de −− −→ −− −→ M ′ C puis de M ′ D . Ê Exercice 2 algorithmique et programmation 1) Le programme suivant renvoie la partie réelle et la partie imaginaire du produit de X + iY par Z + iT : : Prompt X,Y,Z,T :