Droit réel

géométrie dans l’espace Exercice I : France juin 2003 Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : • OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O, • OA = OB = OC = a. On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le −−−→ −−−→ point de l’espace défini par HO = OD . 1) Quelle est la nature du triangle ABC ? 2) Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orthocentre du

Fonctions : Résumé de cours et méthodes 1 Généralités Une fonction f définie sur D f associe à chaque réel x de D f un unique réel noté f (x). D f est appelé l’ensemble de définition de f . f (x) est l’image de x par f (x). Tout réel x de D f tel que f (x) = y est dit antécédent de y par f . • Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 . f (2) = 22 = 4. Donc 4 est l’image de 2 par f . f(x) 2 (antécédent de 4) 4 (image de 2) On peut aussi dire que 2 est un antécédent de 4 par f . Mais

décroissante sur . b. En déduire le signe de g sur .Montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a . est strictement décroissante sur et donc est strictement négative sur . Si est un réel positif alors pour tout entier naturel non nul, est un réel positif donc donc pour tout entier naturel non nul, et pour tout réel positif, on a : soit . c. En déduire la limite de la suite (In). Les fonctions et sont continues sur et pour tout

nombre réel : f ( x)− f (a) Δ y = x−a Δx C'est le coefficient directeur de la droite (AM) où A(a, f (a)) et M(x, f (x)). Autre méthode : Si on pose h= x −a alors x=a+h et Δ x=h .On a une deuxième définition : Définition 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et a∈ I . Soit h un nombre réel non nul tel que a+h∈I . On appelle taux d'accroissment de la fonction f f (a+h)− f (a) Δ y = entre a et a+h, le nombre réel . h Δx C'est le coefficient directeur de la droite (AM)

rapport h Ex : Soit la fonction f définie sur telle que f (x) = x2. Soit un nombre réel h tel que h 0. Le taux d'accroissement de f entre 1 et 1 + h est égal à : f (1 + h) – f (1) (1 + h)2 – 12 1 + 2h + h2 – 1 h(2 + h) = = = =2+h h h h h y 2 y=x B f(1 + h) A et B sont les points de la courbe f d'abscisses respectives 1 et 1 + h. Le taux d'accroissement de la courbe entre 1 et 1+h est le coefficient directeur de la droite (AB) ! f (1 + h) – f (1) f (1 + h) – f (1) y(B) – y(A) = = (1 + h) – h h x(B)

fonction définie sur l’intervalle par : a) Déterminer les limites de en . . en 0 et a) Limite de de . sur possède . D’où ; d’où en 1. sur l’équation dans b) i) Montrer que pour tout réel , ii) Étudier le sens de variation de . c) Démontrer que l’équation une unique solution dans Soit ce réel. 2. Démontrer que pour tout réel l’équation . de Donc , est équivalente à l’équation : Déterminer graphiquement un encadrement de la solution de par deux entiers consécutifs (on utilisera les représentations

x ), alors on dit que f ( x ) est le maximum de f sur I ; S 0 0 E Si pour tout x ∈I, f ( x ) ≥ f ( x 0 ), alors on dit que f ( x 0 ) est le minimum de f sur I. E Exemple Soit f définie sur R par : f ( x ) = ( x − 2)2 − 2 . Pour tout réel x, on a : f ( x ) = ( x − 2)2 − 2 ≥ −2 = f (2) alors f (2) = −2 est le minimum de f sur R . 2. Parité Définitions Soit f une fonction définie sur un intervalle symétrique par rapport au nombre 0. E Si E Si E pour tout x de I, f (

vers +∞ ∞ est égale à 2. Ce que l'on résume par : Définition : Dire que la limite de f en + G est l signifie que f(x) reste dans un intervalle ] l − r ; l + r [ , où r est un réel positif, dès que x est suffisamment grand Note : Lorsque x tend vers +∞ ∞, la courbe de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite D d'équation y = 2. On dit alors que D est une "asymptote" à la courbe de f au voisinage de +∞ ∞. - 1/8 - Ch1 : Limites et continuité (TS) c) Sans limite ! Toutes les fonctions

degré 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360° Mesure en radian 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 2π II. Enroulement de la droite des réels J 1) Cercle trigonométrique 2) Définition : On appelle cercle trigonométrique, le cercle de centre O et de rayon 1 muni d'un sens de parcours, le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). Notation : On l'appellera C. I 3) Enroulement de la droite numérique C le cercle trigonométrique de centre O (et de rayon 1). (O ; I, J) est un repère orthonormé direct

degré à 1 inconnue. Pour la résoudre, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :   | |   | | La solution de cette équation est .2) Résoudre 3(x+2) = 4 + xPour pouvoir résoudre cette équation, il va falloir développer le membre de gauche.Pour résoudre cette équation, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit : La solution de cette équation est -1. 2. Equations pouvant se ramener à une équation du premier degré