Droite d'Euler

nul et forme trigonométrique (ou exponentielle) Notation : A tout réel  , on associe le complexe noté ei  défini par : ei   cos()  isin() . Questions : 1. Quel est le module de ei  ? 2. Que vaut e i i  2 , e , e 3i 2 ? Formules d’Euler : cos      ei  ei 2 sin     ei  ei 2i Propriété :   ,   2 , on a : i) ei()  ei ei  ii) ei   ei      2 Conséquence:  n   cos   isin n  cos(n )  isin(n ) (Formule de Moivre). Définition

:------------------------------------------------- Puissances des fonctions trigonométriques.sin² (x) = 1/2 - (cos (2x))/2cos² (x) = 1/2 + (cos (2x))/2On retrouve facilement les autres puisances des fonctions trigonométriques en applicant les formules d'Euler : et  où i² = -1On élève le deuxième membre à la puissance désirée, on développe à l'aide de la formule du binôme de Newton et on fait les regroupements pour obtenir des sommes de sinus et de cosinus.Exemple :On veut linéariser la puissance quatrième

paramétrage du système et réaliser les figures planes illustrant les 3 paramètres d’orientations. Question 2 : En déduire sous chaque figure, le vecteur rotation traduisant le mouvement. Question 3 : Les 3 angles d’orientations sont-ils les angles d’Euler ? Exercice 2 : REGULATEUR DE WATT Le régulateur de Watt a pour but de maintenir constante la vitesse de rotation  d’une turbine à vapeur. La commande d’admission de vapeur dans la turbine est contrôlée par un robinet. Quand la vitesse de rotation

l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans le cas où f est >0 sur [a ; b], l'intégrale de f comme l'aire du trapéze que définissent : • • • la courbe de f, l'axe des abscisses les deux droites d'équations "x = a" et "x = b". La figure ci-contre montre la courbe de f et l'approximation faite de cette courbe par la droite passant par les points A et B d'abscisses respectives a et b. Pour une fonction f quelconque, mais admettant des primitives sur un intervalle I, on est conduit alors à poser l'approximation

(y) − H(y) − Cx pl+1 (y)2 , où Cx est une constante bien choisie. 4. On suppose ici l’intervalle [a, b] borné. Montrer que pour tout f ∈ C 2l+2 ([a, b]), il existe ξ ∈ [a, b] tel que 1 E(f ) = pl+1 2L2w f (2l+2) (ξ). (2l + 2)! Exercice 4 (Formule d’Euler-Maclaurin) [1] 1. On commence par démontrer les résultats suivants. Il existe une unique suite de polynômes (Bn )n∈N , appelée suite des polynômes de Bernoulli, telle que : 3 (a) B0 = 1, (b) Bn = nBn−1 si n ≥ 1 (c) 1 0 Bn (s)ds = 0 si n ≥ 1.

n! e On se propose de d´montrer la formule de Stirling : e √ n! ∼ nn e−n 2πn +∞ ————— I Constante d’Euler —– 1 1 On consid`re la s´rie de terme g´n´ral un = − ln(1 + ) n ≥ 1. e e e e n n 1. Montrer que la s´rie e un converge 2. En d´duire que : e n 1 lim ( − ln(n) ) = C n−>+∞ k k=1 o` C est une constante r´elle, C > 0. C est la constante d’Euler. u e II Formule de Stirling —– an+1 −n n On pose : pour n ≥ 1, an = n!.n e , vn = ln( ) an 1. Exprimer

Les probabilités I Expérience aléatoire A L’univers Définition : On appelle expérience aléatoire une expérience dont le résultat n’est pas prévisible de façon certaine. Exemple : Le lancer d’un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n’est prévisible de façon certaine. Définition : On appelle univers d’une expérience aléatoire, noté Ω (« oméga »), l’ensemble des résultats possibles de l’expérience. Exemple : L’univers

Calcul des probabilités Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia 2011 - 2012 I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2011 - 2012 1 / 29 Sommaire 1 Notions de base 2 Définition de probabilité 3 Probabilité conditionnelle et indépendance I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités 2011 - 2012 2 / 29 Notions de base Notions de base I. Elhattab (ENCG) Calcul des probabilités

2nde Cours de probabilités : partie 1 1) Définition et vocabulaire Une issue est un résultat d’une expérience. Exemples d’issue: le résultat d’un lancer d’un dé (un numéro par exemple : 2), une victoire, une défaite ou un match nul à la fin d’un match de foot, la note d’un examen blanc, la valeur d’une carte. Une expérience aléatoire est une expérience qui comporte plusieurs issues envisageables et dont on ne peut pas prévoir l'issue qui se réalisera. Exemples d’expérience aléatoire

I- Choisis la bonne réponse de 1 a 6 (30pts) 1- La somme de deux naturels consécutifs est 2011. Quels sont ces deux naturels ? a) 2000 et 11 b) 1004 et 1007 c) 1005 et 1006 d) 2010 et 1 2- Quelle est la fraction décimale égale à 1,5. a) 23 b) 57 c) 35 c) 32 d) 32 3- On donne A=a,e,i on peut écrire a) e∈A b) eCA c)e∈A d) {e}∈A 4- On effectue V=4+5 X 7-8 , on trouve a) 30 b) 31 c) 132 d) Aucune 5- Dans notre langage, on écrit 9, dans le langage des