Droite d'Euler

Approximation de e par la méthode d'Euler On va construire une suite de points Mn(xn, yn) tels que les yn soient des approximations de exp(xn). Pour choisir les valeurs de xn on utilise un pas h et on part de 0. La suite xn sera donc une suite arithmétique de raison h et de premier terme x0 = 0, et on aura xn = nh. Pour définir la suite yn on utilise une approximation affine : exp(xn+1) = exp(xn + h) exp(xn) + h.exp(xn) = exp(xn)(1 + h). La méthode d'Euler consiste à confondre yn et les approximations

æ du ö La méthode d'Euler permet de calculer, pas à pas, les valeurs de uC et de ç C ÷ à intervalles de è dt ø temps réguliers choisis Dt. Si Dt est considéré comme suffisamment petit dans le cadre de l'expérience, on peut écrire : æ du ö uC(t + Dt) = uC(t) + ç C ÷ ×Dt . On choisit Dt = 1 ms. è dt øt a) A l'aide de l'équation différentielle établie à la question 2.1., déterminer la valeur initiale de la æ du ö dérivée notée : ç C ÷ . è dt ø0 b) En appliquant la méthode d'Euler, compléter le tableau

consiste à utiliser la linéarité pour séparer l'intégrale d'une somme en une somme d'intégrales. L'exemple le plus simple est celui des polynômes. On peut aussi intégrer des polynômes en et , ou bien et . On utilise pour cela les formules d'Euler, et les propriétés de l'exponentielle (réelle ou complexe). Le principe est le suivant : tout polynôme en et est une combinaison linéaire de termes de la forme , qu'il s'agit de linéariser, en les exprimant eux-mêmes comme combinaisons

paramètres pour préciser la position d'un point particulier P du solide (paramètres de translation et 3 parametres fixant la position d'un point quelconque M par rapport à ce point P (en général paramètres de rotation). Ces paramètres sont appelés angles d'EULER: précession, nutation, rotation propre. • Dans le cas d'un solide ayant un point fixe, 3 paramètres suffisent. 2- NOTIONS DE MOUVEMENT ET DE REPOS - REPERES ABSOLU ET RELATIF - REPERES DE REFERENCES ET DE PROJECTION Un point P est dit en mouvement

 initiale de la fraction 2 10 x 12 x20 x3 3 x5 Exercice : Simplifier  2 ,    2   et   x 3 x−4 x – 3x−40 x3 – 8 Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions Trigonométrie cos x = e e 2 ix −ix Formules d'Euler : eix −e−ix sin x= 2i et    Formules toujours utiles à connaître :  sin ab=sin a cos bsin b cos a cos  ab=cos a cos b−sin asin b 3 2 Exercices : Linéariser   A=cos x   et   B=cos x sin x Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques

On pourra commencer par calculer ′ z −i c) Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M ′ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement. d) Montrer que, si M est un point de l’axe des réels d’affixe a ∈ , différent de O et de A, alors M ′ appartient à la droite (CD). On pourra commencer par calculer l’affixe de −− −→ −− −→ M ′ C puis de M ′ D . Ê Exercice 2 algorithmique et programmation 1) Le programme suivant renvoie la

1 − cos(2x) + + cos(4x) dx 4 2 8 8 π 2 = = 3x 1 1 − sin(2x) + sin(4x) 8 4 32 3π 16 0 Cette méthode est un peu (trop) longue, et risquée, et demande une bonne mémoire de la 1ère ! (2) la meilleure, linéariser avec l'aide des formules d'Euler : sin4 x = = eix − e−ix 2i 1 4ix (e − 4e2ix + 6 − 4e−2ix + e−4ix ) 16 1 4 QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES 2 (on a utilisé la formule du binôme de Newton avec les coecients de la 4e ligne du triangle

terminal via des coordonnées cartésiennes (3 longueurs), cylindriques (2 longueurs + 1 angle) ou sphériques (1 longueur + 2 angles). ii.    Il existe différentes possibilités pour définir l'orientation de l'organe terminal : Les angles d'Euler, D'autres types d'angles (Bryant, …), Les cosinus directeurs. Leur utilisation revient à considérer l'ensemble des projections des vecteurs unités portés par les axes du repère 1?, sur les axes du repère 0? (repères orthonormés). Il en résulte

série de Grégory : +∞ π (−1)n = 4 2n + 1 n=0 Cette série converge lentement : R10 9.072 3 × 10−2 , R100 9.900 7 × 10−3 , R1000 9.99 × 10−4 Le théorème des séries alternées nous dit que cette erreur est majorée par Une formule d’Euler : +∞ π=2 n=0 4 . 2n + 3 2n (n!)2 (2n + 1)! On a : R10 4.866 3 × 10−4 , R100 −5. 048 7 × 10−29 La série de Machin donne une meilleure approximation : +∞ π = 16 n=0 +∞ (−1)n 1 (−1)n −4 52n+1 2n + 1 2392n+1

tan(a) = sin(2a) / (1 + cos(2a)) = (1 - cos(2a)) / sin(2a) En posant t = tan(a/2) :  sin(a) = 2t / (1 + t²) cos(a) = (1 - t²) / (1 + t²) tan(a) = 2t / (1 - t²) Formule de Moivre ( cos(a) + isin(a))n = cos(na) + isin(na) Formules d'Euler cos θ = 1/2.(eiθ + e-iθ) sin θ = 1/(2i).(eiθ - e-iθ)