E

est unique et est noté e ( exp(1) = e1 = e ) Ce nombre e est un nombre irrationnel proche de 2,718. On peut alors adopter la notation exp(x) = ex 6. La fonction f(x) = e = exp(x) Etude des limites : de - ¥ . x® + ¥ x lim e x = + ¥ ; lim ex = 0 ; asymptote d'équation y=0 (=axe des abscisses) au voisinage x® - ¥ ex -1 = 1 donc pour x voisin de 0 on a : ex @ 1 + x , on a alors pour n assez grand e x®0 x lim et aussi Tableau de variation 1 @ æ 1+ ö ç ÷ è nø n e = + ¥ ; lim xe x = 0

n  a mn 6- a   a m n m/ n Une base importante pour les fonctions exponentielles est le nombre e , appelé ainsi en n l’honneur de Léonard Euler. Il s’agit de la limite de 1 1 n  lorsque n   . Son approximation numérique est 2,718281828… 2 Création Nicolas Vaillant, modifications M.Buisine – Mathématiques – L1 Gestion & CFA Comme e  1 , y  e x est une fonction exponentielle croissante. On l’utilise lorsqu’une quantité exponentielle change continument ; c’est

]0 ; +∞[ par la fonction ln est donc 2) Le nombre e Puisque la fonction ln est une bijection de ]0 ; +∞[ dans solution dans ]0 + ∞[. Définition On note e l'unique solution de l'équation ln x = 1. Ce nombre e s'appelle base du logarithme népérien.   . , pour tout réel λ l'équation ln x = λ admet une unique On a donc ln e = 1. Le nombre e s'obtient avec une calculatrice avec la touche ex et x = 1. On obtient e Plus généralement, ln e = p ln e = p, relation pratique pour la résolution des équations

l’audience du e-commerce en France au 4ème trimestre 2007 La fin de l’année 2007 : formidable accélérateur de l’achat en ligne 20 millions de Français achètent sur Internet Plus de 2 millions de Français ont effectué leur 1er achat en ligne Les Français sont toujours plus accros de l’achat sur Internet : 19,8 millions d’entre eux ont acheté en ligne fin 2007, soit près de 2 internautes sur 3, une augmentation de 12% en un an. La période des fêtes de fin d’année a particulièrement boosté le e-commerce

calculs, jusqu'à leur remplacement, à la fin du xxe siècle, par des calculatrices. Pour les calculs, le logarithme décimal (c'est-à-dire en base dix) était le plus communément utilisé. Le logarithme népérien (ou naturel) est celui qui utilise le nombre e comme base, il est fondamental en analyse mathématique car il est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Le logarithme binaire, qui utilise 2 comme base, est utile pour les calculs appliqués, et en informatique théorique. Une échelle

de Terminale e STG F.Gaudon 16 f´ vrier 2008 e Table des mati` res e 1 Probabilit´ s (rappels) e 2 3 4 ´ e Ev´ nements Calculs de probabilit´ s e Probabilit´ s conditionnelles e 4.1 Notion de probabilit´ conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2 Arbre pond´ r´ s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 4.3 Ind´ pendance d’´ v´ nements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2 3 4 5 5 6 7 1 1 Probabilit´ s (rappels) e D´ finitions : e • Une exp´ rience

tons du chinois mandarin sur une échelle de 5 Les tons du pinyin se notent sur les voyelles. Le ton est noté sur la voyelle médiane (en chinois on distingue l'intiale, la médiane et la finale). En général l'ordre d'importance est le suivant : a, o, e, u, i. Exemple : mǎi, huā, jiā, dōu, shuō, què, suì, xiě. Mais pour "u" et "i" le ton se place toujours sur la deuxième lettre : iū, uī. Les consonnes du pinyin Les consonnes F, L, M S et la voyelle Y se prononcent comme le français. Le français

c’était comment ? Bilan 2012 positif pour l’e-commerce ! Selon la FEVAD, les ventes sur internet ont atteint 45 milliards d’euros en 2012, soit une hausse de 19% par rapport à l’an dernier. Médiamétrie, s’est surtout concentré sur l’audience des sites e-commerce durant la période octobre-novembre 2012, celle-ci atteint les 31,7M d’internautes ayant acheté en ligne, une augmentation de 5% en un an. Oubli de la crise Comme nous le disions précédemment dans l’article, « La crise sera entre parenthèses

soit ln ( x 2) = 2 ln x ; c) Pour tout entier naturel n, ln (x n ) = ln ( x n–1) + ln (x) = ln (x n–2) + ln (x ) + ln x = …. = n ln (x) ; 1 1 1 1 ) = ln 1, donc ln ( x × ) = 0, d'où ln x + ln ( ) =0, soit ln ( ) = – ln x ; d) ln ( x × x x x x x 1 1 e) ln ( ) = ln (x × ) = ln (x) + ln ( ) = ln x – ln y ; y y y 1 f) Pour tout entier naturel n, ln ( n ) = ln(x– n) = – n ln x . x Bilan : pour tous nombres réels a et b strictement positifs on a : ln ( ab) = ln a + ln b ; a ln ( ) = ln a – ln b ; b 1 ln

précédent. Pour tout réel a, exp(a) > 0. Il suffit de remarquer que exp a=exp a 22 et qu'un carré est toujours positif ou nul. Comme exp(a)  0, on trouve bien exp(a) > 0 B. Utilisation du nombre e Par définition, on appelle e le nombre égal à exp(1). 1- Approximation de e par la méthode d'Euler On va construire une suite de points Mn(xn, yn) tels que les yn soient des approximations de exp(xn). Pour choisir les valeurs de xn on utilise un pas h et on part de 0. La suite xn sera