Écart type

− b) = cosa cosb + sin a sinb sin(a − b) = sin a cosb − sinb cosa cos p − cos q = −2 sin p+q p−q sin 2 2 p+q p−q sin p − sin q = 2 cos sin 2 2 y Vous devez savoir utiliser le cercle trigonométrique pour retrouver par exemple les expressions du type : cos(π − α ) = − cos α π  cos + α  = − sin α 2  etc…. uur j sinα M α cosα uu r i x 1 Vecteurs Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales deux à deux. r ON NE PEUT JAMAIS ECRIRE

55 3 Déterminer l’écart-type corrigé s des salaires (en milliers de dollars). A 1,4737 B 2,5737 C 3,6737 D 4,7737 E 4,8737 F 5,8737 G 6,9737 H 8,0737 4 Déterminer la limite inférieure d’un intervalle de confiance (à 95 %) pour le salaire moyen de la population. A B C D E F G H 34,242 40 42,879 45,758 48,637 49,662 51,516 54,395 5 Utiliser les données de l’échantillon pour estimer ce qu’aurait été l’écart-type de l’estimateur si on avait

nicotine weight 24 3 20 1.345197 sigma(epsilon) 1.159826222 DROITEREG weight coef. 2.07934422 ecart-type 3.17841712 0.93497531 95.8584963 386.845646 nicotine tar constante 0.51846956 0.88758035 -0.55169763 3.25233113 0.19548169 2.97128094 1.15982622 #N/A #N/A 20 #N/A #N/A 26.9039373 #N/A #N/A  ZK/dZ' y> -1.26324 -0.60803 10.57766 -0.53673 -9.03960 -0.02055 -0.53673 10.10234 Ecart-types des coefficients constante tar nicotine weight 2.97128 0.19548 3.25233 3.17842  y>

∂L(p|X ) = 0 → pi = ˆ ∂pi t t xi N , i = 1, . . . , K GIF-4101 / GIF-7005 (U. Laval) M´thodes param´triques e e C. Gagn´ e 6 / 32 Exemple : loi normale Loi normale : distribution param´tr´e par une moyenne µ et un e e ´cart-type σ e p(x) = √ 1 (x − µ)2 exp − , −∞ < x < ∞ 2σ 2 2πσ Vraisemblance selon un ´chantillonage X = {x t }N avec e t=1 x t ∼ N (µ, σ 2 ) L(µ, σ|X ) = − N log(2π) − N log σ − 2 ∂L(µ,σ|X ) ∂µ t t (x − µ)2 2σ 2 =0 t Maximum de vraisemblance

Moyenne de Benjamin = (14+11+10+9+13+12) ÷ 6 = 11,5 2) L’écart type est égal à la racine de la variance. Pour la série de notes de Fatima la variance est : V1 = [(7-11,5)²+(14-11,5)²+(13-11,5)²+(9-11,5)²+(11-11,5)²+(15-11,5)²] ÷ 6 = 7,92 Donc l’écart type de la première série est = 2,81 Pour la série de notes de Benjamin la variance est : V2 = [(14-11,5)²+(11-11,5)²+(10-11,5)²+(9-11,5)²+(13-11,5)²+(12-11,5)²] ÷ 6 = 2,92 Donc l’écart type de la première série est = 1,71 3) On remarque que Benjamin

avec la variation des mesures, tandis que Cgk compare la tolérance avec le biais et la variation des mesures. Des valeurs Cg et Cgk élevées indiquent que la variation due au système de mesure est faible par rapport à l'étendue de tolérance. Le seuil type pour ces deux valeurs est 1,33.Dans cet exemple, les indices de capabilité sont Cg = 0,46 et Cgk = 0,25, nettement inférieurs à 1,33. Ces valeurs suggèrent que la variation due au Diamètre système de mesure est importante. La valeur %var. (répétabilité)

points La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est définie dans le tableau suivant : xi P(X = xi ) 1 2 3 4 5 1 9 2 9 3 9 2 9 1 9 1. Calculer son espérance E(X), sa variance V (X) et son écart-type σX . 2. Déduire de la question précédente, l’espérance, la variance et l’écart-type des variables aléatoires Y et Z dont les lois sont les suivantes : yi 2 4 6 8 10 1 2 3 2 1 P(Y = yi ) 9 9 9 9 9 zi P(Z = zi ) −5 −10 −15 −20 −25 1 9 2 9 3 9 2 9 1 9 Exercice 4 6 points Un joueur

de degré 2 3. Équation du second degré 4. Signe du trinôme 5. Synthèse Séquence 3 Taux d’évolution p.59 1. Pré-requis 2. Taux d’évolution 3. Synthèse Séquence 4 Statistiques 1. Pré-requis 2. Médiane, quartiles, diagrammes en boîte 3. Moyenne, écart-type 4. Synthèse 2 Sommaire général – MA41 p.85 Sommaire Séquence 5 Probabilités p.121 1. Pré-requis 2. Schéma de Bernoulli, loi binomiale 3. Intervalle de fluctuation 4. Synthèse Séquence 6 Les suites p.153 1. Pré-requis 2. Suites 3. Suites

fidèlement possible ses caractéristiques. C’est le problème de l’échantillonnage. 8 Chapitre 3 Estimation et Estimateur 3.1 Définition : L’estimation consiste a données des valeurs approchées aux paramètres d’une population (exemple : moyenne, écart-type,...) à l’aide d’un échantillon de taille n observations issues de cette population. On suppose vérifie l’hypothèse d’échantillonnage aléatoire simple. Pour simplifier la suite de l’exposé, nous ne supposerons que la loi de référence à déterminer

. . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 loi normale activité la répartition des notes à un examen est approximée par la courbe en cloche caractéristique d’une loi normale ci dessous. On a déterminé qu’une loi normale de moyenne m = 10 et d’écart type σ = 3 convenait. 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 note 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 On dit que la note l’examen est relativement bien approchée par une variable aléatoire X où