Équation de d'Alembert

visqueux ou pas ? 6. Annexes • Une question qui peut venir à l’esprit: est-ce que l’air est visqueux ou pas ? • Si on considère que l’air n’est pas visqueux (pour pouvoir appliquer le théorème de Bernoulli) on arrive au paradoxe d’Alembert: Paradoxe d’Alembert • Lors d’un écoulement permanant, non visqueux le point d’arrêt arrière est au-dessus du bord de Point arrêt fuite (*). • La distance au-dessus et audessous sont les mêmes. Point arrêt • La vitesse est la même d’un côté ou de

d’une position d’équilibre de nombreux systèmes physiques dans des conditions d’approximation à définir. Ce chapitre présente le prototype le plus élémentaire d’oscillateur harmonique : le système masse-ressort horizontal non amorti, la mise en équation du mouvement de la masse et la résolution de l’équation différentielle harmonique. Les méthodes d’étude et de résolution présentées dans ce chapitre se retrouveront tout au long de l’ouvrage. Il est important de bien les maîtriser. Les exercices

séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ n + 1 fn (x) donc ∆ = R. ∞ xn Exemple 2 : . n2 n=1 fn+1 (x) xn n 2 Posons fn (x) = 2 on a : lim = lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) Si |x|

dimension Equation de propagation Dans les phénomènes vibratoires traités dans les chapitres précédents, nous nous sommes intéressés à des phénomènes ou des grandeurs physiques qui dépendaient d’une seule variable, le temps. Nous allons maintenant examiner toute une une série de phénomènes qui sont décrits par une fonction qui dépend à la fois du temps t et d’une variable d’espace , x par exemple. Ces phénomènes sont régis par une équation aux dérivées partielles, appelée équation d’onde ou équation

notée l’ensemble ; an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche     x∈R: ∆=   ∞ n=0     . an xn converge   C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert ; Posons fn (x) = n! fn+1 (x) x lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout = lim n−→∞ n−→∞ n + 1 fn (x) x ∈ R ; donc ∆ = R. Exemple 2. ∞ xn . 2 n n=1 fn+1 (x) xn n 2 Posons fn (x) = 2 on a : lim = lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1

particulier pour l'analyse mathématique, comme pour la notion d'une fonction mathématique. • ALEMBERT (1717-1783) Il est célèbre pour avoir dirigé l’Encyclopédie avec Denis Diderot jusqu’en 1757 et pour ses recherches en mathématiques sur les équations différentielles et les dérivées partielles. • LAGRANGE (1736-1813) Fondateur du calcul des variations avec Euler et de la théorie des formes quadratiques, il travaille aussi sur les probabilités. Son nom figure partout en mathématiques. On lui

raisonné des sciences, des arts et des métiers » est une vaste encyclopédie française, comportant 35 volumes et éditée au XVIIIe siècle sous la direction de Diderot et D’Alembert. L'Encyclopédie a été le fruit du travail de nombreux auteurs, voici les principaux auteurs : * Denis Diderot * Le chevalier Jaucourt * D’Alembert * Louis de Cahusac * Condillac * La Condamine * André Le Breton * Rousseau * Daubenton * Buffon * Le Baron d'Holbach *

même type) que nous cherchons à établir. L’observation devient ainsi à proprement parler expérience. En effet, l’observation est simplement passive alors que l’expérience, comme le rappelle l’article « Expérimental » de l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert, est active, pose des questions à la nature et la presse d’y répondre. Mais comment évaluer que tous les facteurs pouvant influer sur le phénomène que l’on cherche à observer ont bien été identifiés ? Comment savoir que les objets que l’on observe

Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers » est une vaste encyclopédie française, comportant 35 volumes et éditée au XVIIIe siècle sous la direction de Diderot et D’Alembert. L'Encyclopédie a été le fruit du travail de nombreux auteurs, voici les principaux auteurs : Denis Diderot Le chevalier Jaucourt D’Alembert Louis de Cahusac Condillac La Condamine André Le Breton Rousseau Daubenton Buffon Le Baron d'Holbach Montesquieu Marmontel Quesnay Anne Robert Jacques

Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆= x∈R:   ∞ n=0     n an x converge   qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 ∞ xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ fn (x) n+1 donc ∆ = R. ∞ xn Exemple 2 : . 2 n n=1 fn+1 (x) xn n 2 Posons fn (x) = 2 on a : lim = lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) Si |x|