Equation Diophantienne

baccalauréat STG - Option Mercatique, CFE, GSI - Pondichéry - avril 2010) Partie A Sur la figure donnée en annexe, on a tracé, dans un repère, trois droites dont les équations sont : x + y = 7, x + 2 y = 12 et 3 x + 2 y = 20. 1. Parmi les équations données ci-dessus, laquelle est une équation de la droite (D1) ? Laquelle est une équation de la droite (D2) ? 2. Déterminer par le calcul les coordonnées du point d’intersection des droites (D1) et (D2) . 3. Déterminer graphiquement, en hachurant la partie

la façon la plus simple de déterminer l'équation réduite d'une droite de la forme y=mx+p en connaissant les coordonnées de deux points de cette droite.La méthode est assortie d'un exemple et propose une démonstration mais n'explique ce qu'est une équation de droite.Pour déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points A et B dont on connait les coordonnées respectives A(xA : yA) et B(xB : yB), avec xA≠xB, il faut simplement chercher à calculer les valeurs de m et de p dans l'équation

− Pour chacune d’elle, montrer un tableau de valeurs. 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 1 3 1 2 3 4 2 pts 4. Dans un plan rapporté à un repère, on considère les points A(−2 ; 4) , B (1 ; 2) et C (3 ; 4) Déterminer les équations réduites des droites (AB), (BC) et (AC). Bien expliquer votre raisonnement. 3 pts www.maths-learning.fr 2 2 Interrogation du 23 octobre 2009 5. Déterminer le nombre de couples solutions de chacun des systèmes suivants : ⎧2 x − 3 y =

5 | b | Eteinte | 0 | 0 | b | Allumée | 1 | 5.01 | v | Eteinte | 0 | 0 | v | Allumée | 1 | 5 | s | Eteinte | 0 | 0 | s | Allumée | 1 | 5.01 | h | Eteinte | 0 | 0 | h | Allumée | 1 | 5.01 | Chronogramme Table de vérité et équation s | v | Y1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | l’équation reliant Y1 en fonction de (v,s) :OU Y1=/S.V b | v | Y2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | l’équation reliant Y2 en fonction de (b,V) :

le nombre suivant sous la forme a b , où a et b sont des nombres entiers : A  3 50  2 32  6 18 50  25  2  25  2  5 2 32  16  2  16  2  4 2 18  9  2  9  2  3 2 A  3 5 2  2  4 2  6  3 2 A  15 2  8 2  18 2 A  25 2 3) Equations x² = a propriété L'équation x 2  a , où x est l'inconnue et a est un nombre :  a deux solutions si a  0 : a et  a ;  a une seule solution si a  0 : 0 ;  n'a pas de solution si a  0 © S.DUCHET – http://epsilon.2000.free.fr 2/3 3ème

Éléments de correction 1. État initial : p = 1 atm, T = 298 K, nC = 5,0.10–2 mol et nCuO = 2,0.10–2 mol. Masse initiale du mélange m = 2,2 g. 3. Espèces nouvelles : dioxyde de carbone et métal cuivre. Équation de réaction : 2CuO + C  CO2 + 2 Cu 4. Tableau descriptif de l'évolution du système Equation de la réaction 2CuO  +       C       →      CO2     +     2Cu Quantité de matière dans l’état initial (mol) 2,0.10-2 5,0.10-2 0 0 Quantité de matière en cours de la transformation (mol) 2,0

B. Jouvencel 1/5 Systèmes non linéaires Définition d’un système non linéaire ˙ Soit un système régi par une équation différentielle : x = f (x,u) n m x R , u R , où f est une fonction non linéaire. -1- ˙ Système libre : la commande n’intervient pas x = f (x) , l’évolution du système se fait à partir de conditions initiales. ˙ Solution de l’équation -1- y(t) est dit solution de -1- si y(t) vérifie y = f (y,u) Trajectoire Soit x(t ) avec x R n , une solution qui vérifie l’équation -1-

la lumière au cours de la mesure. 2. Suivi temporel 2.1. On sélectionne la longueur d’onde qui correspond au maximum d’absorption de l’espèce chimique étudiée. 2.2. 3 CH3CH2OH(aq) + 2 Cr2O72-(aq) + 16H+(aq) = 3CH3COOH(aq) + 4 Cr3+(aq) + 11 H2O(l) Équation État initial État intermédiaire État final 2.3. [Cr2O72-(aq)] = n0 n0 – 3x n0 – 3xéq n1 n1 – 2x n1 – 2xéq Excès Excès Excès 0 3x 3xéq 0 4x 4xéq Beaucoup Beaucoup Beaucoup n1 - 2x V V 1 donc x = .(n1 – [Cr2O72-(aq)].V) [Cr2O72-(aq)].V = n1 – 2x

Sections planes de surfaces I Cylindre d'axe Oz Propriété (voir démonstration 01) Un cylindre d'axe Oz et de rayon R a pour équation x2 + y2 = R2 Sa section avec un plan P d'équation z = k (parallèle à xOy) est le cercle d'équation x2 + y2 = R2 (dans le plan P) Sa section avec un plan Q d'équation y = k (parallèle à xOz) est : ( si | k | > R : l'ensemble vide ( si | k | = R : la droite d'équation x = 0 (dans le plan Q) ( si | k | < R : les droites

courbe représentant f.(0,75 pt) [pic] 2) Lire sur le graphique le nombre de solutions des équations : a) f(x) = 2 (0,25 pt) La droite d’équation y = 2 coupe deux fois la courbe de f donc l’équation f(x) = 2 a deux solutions. b) f(x) = – 5 (0,25 pt) La droite d’équation y = – 5 ne coupe pas la courbe de f donc l’équation f(x) = – 5 n’a pas de solution. 3) Résoudre ces deux équations. L’équation f(x) = 2 s’écrit : x2 + 4x + 1 = 2 ou bien x2 + 4x – 1 = 0. (0,25 pt) [pic]= 42 –