Equation Diophantienne

Équations diophantiennes du premier degré Z, auctore 3 octobre 2007 Résumé Soient a, b, c trois entiers. Résoudre l’équation diophantienne ax + by = c. consiste à déteminer toutes les paires de nombres entiers x et y qui en sont solution. Dans la suite, on étudie d’abord un exemple particulier avant de considérer le problème en toute généralité. On suppose connus la division euclidienne, les notions de pgcd et de nombres premiers entre eux, les théorèmes de Bachet et de Gauss. § 1. Résolution

prend e = 119 • Vérifier que e est conforme à la définition, c'est à dire que e et  p − 1   q − 1  sont bien premiers entre eux. 2) La clef privée. • Démontrer que la recherche de d se ramène à la résolution de 119 d − 4056 k= 1 • Résoudre cette équation dans ℤ . • Vérifier que d = 3647 est une solution. Dans la suite on prend p = 3 , q = 11 , e = 7 , d = 3 et donc n = 33 . 3) Cryptage. Représentons les lettres successives de l'alphabet par les nombres 1,2 ,  , 26 et le "!" par 27. Chaque lettre

propriété (P) rappellée ci-dessus, 6 | (a 7 − a ) . > Par ailleurs, 7 étant premier, d’après le 2. on a 7 | (a 7 − a ) -> Comme 6 et 7 sont premiers entre eux, toujours d’après la propriété (P), 42 | (a 7 − a ) . Exercice 3 1a. Soit (E) l’équation diophantienne 8x-5y = 3. Il est clair que le couple ( x0 , y0 ) = (1,1) est solution particulière de (E). Ainsi (x,y) est solution ssi 8x-5y = 8 x0 − 5 y0 ⇔ 8 ( x − x0 ) = 5 ( y − y0 ) (E’). Par conséquent, 5 divise 8 ( x − x0 ) et comme 5 est premier avec 8

Suites arithmétiques et Géométriques Nous allons considérer des suites de nombres réels. Exemple 1. La suite des nombres 1, 3, 5, 7, 11, 13…. ou la suite des nombres 100, 110, 121, 133.1, 146.41 ... Définition/Notation : La suite est en général noté premier terme est noté ( un ) (ou ( vn ) ou ( Cn ) pour les capitaux), son u0 , le suivant u1 , le suivant u2 … et ainsi de suite. u0 mais à u1 . u0 = 1 , u1 = 3 , u2 = 5 ... Remarque : parfois, on ne commence pas la suite à

première moitié du IIème siècle avant J.C..- On connaît précisément l'âge qu'il avait à sa mort grâce à un problème grec de 500 après J.C. (voir ci-dessous).Diophante serait né en Syrie mais aurait vécu à Alexandrie. Savant: spécialiste des équations du premier degré dont il a établi toute une théorie et du second degré dont il trouva la solution. Ses ouvrages, dont seulement la moitié nous sont parvenus, ont été à la base des méditations des mathématiciens arabes, puis des géomètres de la Renaissance

sait pas démontrer qu’il est non nul ! 5 Problèmes Diophantiens A partir de maintenant, je ne vais mentionner que des problèmes diophantiens, c’est à dire essentiellement des équations que l’on souhaite résoudre en nombres entiers ou rationnels. Attention ! entier signifie toujours entier relatif. Dans les problèmes précédents, du moins ceux qui ne sont pas infaisables, l’outil principal est l’analyse. Pour les équations diophantiennes on utilise en plus de l’algèbre et de la géométrie algébrique

vers 200/214 et mort vers 284/298. Il était un mathématicien grec dont on ignore tout , ou presque , sa vie. Mais on sait qu'il a vécut à Alexandrie , une ville d’Égypte au 4ème siècle après Jésus Christ . Il est connu pour son étude des équations diophantiennes, et il a été surnommé le papa d'Algèbre. Son ouvrage le plus important est son Arithmétique, qui influença les mathématiciens arabes et plus tard ceux de la Renaissance. C'est un traité de 13 livres, dont on ne connaissait que 6 volumes jusque récemment

E.A. : Théorie de K.A.M. Philippe Moireau Novembre-Décembre 2002 Table des matières 1 Rappels de mécanique hamiltonienne, Systèmes intégrables 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Equation d’Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Coordonnées symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Système complètement intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Systèmes complètement

dette. (Brahmagupta, Brâhmasphutasiddhânta, in : Ifrah G., Histoire universelle des chiffres, T. 1, p. 976) Lorsque l’on cherche à résoudre une équation dans l’ensemble des entiers naturels il se peut que celle-ci ne possède pas de solution exprimable sous la forme d’un entier naturel comme par exemple l’équation x + 3 = 2 , et plus généralement les équations du type x + a = b avec a > b . C’est ainsi que les mathématiciens ont construit un ensemble de nombres plus vaste incluant les solutions de ce

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 Nombres complexes 7.1 Généralités . . . . . . . . . 7.2 Conjugué et module . . . . 7.3 Équations du second degré . 7.4 Propriétés géométriques . . 7.5 Exponentielle complexe . . 7.6 Cercles et rotations . . . . 7.7 Exercices . . . . . . . . . . 8 Logarithme 8.1 Construction . . . . 8.2 Propriétés . . . . . 8.3 Fonctions puissances 8.4 Exercices