Equation Diophantienne

x) = x3 − 2 x 2 + 1 par x + 1. Corollaire Le polynôme p( x) est divisible par x − c si et seulement si p(c) = 0. PREUVE Exemple Montrer que le polynôme p( x) = 2 x3 + 5x2 −13x + 6 est divisible par x − 1. 4 §2 ÉQUATIONS POLYNOMIALES Pour résoudre une équation polynomiale, on adoptera cette marche à suivre : 1° 2° 3° Écrire l’équation sous la forme p( x) = 0, où p( x) est un polynôme. Factoriser p( x) (si possible !) en facteurs du premier degré ou du deuxième degré. Pour chaque

ln a1 + · · · + an n ≥ ln(a1 ) + · · · + ln(an ) . n On applique l’exponentielle et les propriétés habituelles du logarithme pour trouver le résultat ! Exercice 5 - Intégrale - L1/Math Sup La corde passant par (a, f (a)) et (b, f (b)) a pour équation y= f (b) − f (a) (x − a) + f (a). b−a Pour les points d’abscisse comprise entre a et b, la courbe représentative de f est au-dessus de cette corde, c’est-à-dire que f (t) ≤ f (b) − f (a) (t − a) + f (a) b−a pour t ∈ [a, b]. On intègre cette

arg z' [2π] z' ! arg z = "arg z [2# ] ! Translation de vecteur u d'affixe t : z' = z + t ! Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω) ! Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω = e i" (z- ω) EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS C C ! Soit l'équation az 2 + bz + c = 0 et le discriminant " = b 2 # 4ac c "b "b + # "b " # si Δ > 0 alors 2 solutions réelles z1 = et z1z2 = ; z1 + z2 = ; z2 = a a 2a 2a ! ! b si Δ = 0 alors 1 solution réelle z0 = " 2a c

'+ 2 y = 0 ⇔ y ' = −2 y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : avec C∈R. 4 4 y + 3 y ' = 0 ⇔ y ' = − y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 3 x ! Ce−2 x , J x! 4 − x Ce 3 , avec C∈R. 1) Montrer qu’il existe exactement une fonction f, dérivable sur R, solution de l’équation 2y' = 5y et telle que f '(0) = 1. 5 2 y ' = 5 y ⇔ y ' = y . Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions : 2 fk : x ! f k'

.. C’est ce principe qu’on utilise pour résoudre une équation comme x + 3 = 5 : Dans cet exemple, on cherche le nombre x tel que x + 3 = 5 ; donc on connaît x + 3 . Pour trouver x , il suffit de retrancher 3 : x + 3 − 3 = 5 − 3 donc x = 2 . Remarque : la résolution est la même pour l’équation 5 = x + 3 . • Compléter : x+5 • • Quelle opération faut-il faire pour obtenir x à partir de ? x−3 ? x+7 ? Résoudre les équations suivantes (c'est-à-dire trouver la ou les valeurs de x

directement la difficulté ; car, par ce moyen, nous aurons autant de comparaisons entre deux choses égales. Règle vingtième Après avoir trouvé les équations, il faut achever les opérations que nous avons omises, sans jamais employer la multiplication toutes les fois qu’il y aura lieu à division. Règle vingt-et-unième S’il y a plusieurs équations de cette espèce, il faudra les réduire toutes à une seule, savoir à celle dont les termes occuperont le plus petit nombre de degrés, dans la série

la transformation chimique ( voir T.P.6) Lorsqu’on mélange les deux solutions précédentes, il se forme de l’ammoniac NH3 et de l’eau. NH4 + (aq) + Cl ֿ(aq) + Na +(aq) + HO ֿ(aq) ( NH3(aq) + Cl ֿ(aq) + Na +(aq) + H2O(l) Eliminons de cette équation les espèces qui ne participent pas à la réaction (ions spectateurs) : NH4 + (aq) + HO ֿ( NH3 (aq) + H2O (l) 2) Interprétation de la transformation Au cours de cette transformation, l’ion ammonium cède un proton H+. On écrit :

sont orthogonaux. IJ 0 ; − ; 2 2 2 2 − → → − Les vecteurs IK et IJ ne sont manifestement pas colinéaires ; ils définissent → − donc le plan (IJK). Le vecteur n orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est donc normal à ce plan. Une équation du plan (IJK) est donc : H(0 ; 1 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), donc K M(x ; y ; z) ∈ (IJK) ⇐⇒ 2x + 1y + 1z + d = 0. 1 1 Comme I appartient à ce plan on a I 1 ; ; 0 ∈ (IJK) ⇐⇒ 2 + + d = 0 ⇐⇒ 2 2 5 d = − . Donc 2 5 = 0 ⇐⇒ 4x + 2y + 2z − 5 = 0. 2 −→ − −− −→ −→

A est l’intersection de 2 droites, pour trouver ses coordonnées, on résout le système comprenant les 2 équations de droites. Soit [pic] on trouve ainsi, [pic] et [pic] d’où A = (0;1). De la même façon, on trouve : B = [pic], C =[pic], D = [pic] • Etablir une bijection entre les sommets de Ω et de ceux de [pic]. Pour le point A, on remplace ses coordonnées dans les équations de [pic], on a [pic] d’où [pic] De la même façon, on a [pic] pour le point B. [pic] pour le point C

………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Deuxième loi de Newton ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Equation différentielle du mouvement La projection de la relation vectorielle précédente dans le repère (O ; i ) donne : ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………