Équation polynomiale

Seconde Fiche d’exercices 1 Fonctions affines ; équations ; inéquations Exercice 1 Dans un repère orthonormal, tracer les droites D1, D2 et D3 représentant respectivement les fonctions affines : 1 ► x → 4x − 2 ► x → 4 − 2x ►x→ x 4 Exercice 2 Déterminer sans calcul les expressions des quatre fonctions affines dont les courbes représentatives sont données ci-dessous : 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

usuelles : Opérations sur les fonction dérivables : Théorème : Si f et g sont dérivables sur I ( I et fn sont dérivables et on a : IR) alors f + g, f , f.g(g 0), Sens de variation d’une fonction : Résolution d'une équation du second degré Une équation du second degré a la forme suivante : Le discriminant noté est défini par Si < 0 alors l‘équation n‘admet pas de solutions réelles Si Si = 0 l‘équation admet une solution double > 0 alors l‘équation admet deux solutions

e x e E 2 2.1 DOMAINE DE VALIDITE voir ci-dessus Le domaine d'application est défini à l'article B.6.2,220 2.2 PRINCIPE DE LA METHODE Pour une poutre continue sur (n) appuis la méthode des 3 moments aboutit à résoudre un système de (n-1) équations à (n-1) inconnues qui sont les moments sur les appuis. La méthode de calcul proposée par Albert Caquot (17881-1976) part du postulat que les moments sur appuis sont provoqués par les charges se trouvant sur les travées adjacentes à l'appui considéré

Chapitre 3 - Améliorer ses techniques – Corrigés Égalité pour tout réel et équation Exercice 1 ; ; Les nombres et sont donc solutions de l'équation Le nombre ne l'est pas. Math'x seconde © Éditions Didier 2010 . Chapitre 3 - Améliorer ses techniques – Corrigés Égalité pour tout réel et équation Exercice 2 1. Présentons les résultats en tableau : 0 9 9 –2 17 17 2. On obtient les mêmes résultats pour Il est possible que pour tout réel

Seconde / Calcul algébrique, équation, problème A. Rappels : Exercice 4399 Exercice 4401 Dire si les équations suivantes acceptent pour solution x=2 : a. 3x + 1 = 2x − 1 c. 1 2x + 1 = 3x + 4 2 b. 3(x + 1) − 3(2 − x) = x + 1 √ d. 3x2 + 4 = 4 Au travers de contre-exemple, montrer que les égalités suivantes sont fausses : a. 3x + 1 = 4x b. (x + 1)2 = x2 + 1 c. (x + y)2 = x2 + y 2 d. e. x2 + y2 5(x + 2) + 2x = 3(x + 5) + 2 5x + 10 + 2x = 3x + 15 + 2

déformations. Par exemple, en construction métallique, on limite la flèche d’une poutre : L f ≤ L 300 f On s’intéresse ici aux déformations et aux déplacements d’une poutre, que l’on suppose droite. On établira en particulier les équations de déformations de la poutre dans un repère local lié à la poutre (axe x = axe longitudinal de la poutre). 2 DEFORMATIONS PRODUITES PAR L’EFFORT NORMAL – LOI DE HOOKE y y y y Section S σ = N z N S x z N

1. Généralités. 1.1. Equation à deux inconnues du premier degré Définition: Soient a, b et c trois nombres réels donnés. Une équation du type , ou s'y ramenant, est une équation à deux inconnues du premier degré Exemple: est une équation à deux inconnues du premier degré. Définition: On appelle solution d'une équation à deux inconnues du premier degré du type tout couple (x;y) tel que l'égalité soit vraie. Exemple: n'est pas un couple solution de, car . Par contre,

’épaisseur équivalente 3) Application d ’un facteur de correction  E1  h e  f h1   E2  pour 2 = 1 f = 0,9 pour système bicouche 0,8 pour système multicouche 1,0 pour le premier interface d ’un multicouche 4) Application des équations de Boussinesq 1/ 3 1/ 3 Exemple q=0,7MPa a=150mm E1=2000MPa , h1=150mm r1 Enrobé bitumineux Fondation granulaire E2=300MPa , h2=500mm sz2 sol support E3=20MPa , h3=  =0,35 pour toutes les couches Solution

ei2 = (Yi − aX i − b) 2 ∑ par rapport a et b. Les dérivée partielles donnent: ∂ ∑ (et2 ) = -2 ˆ a ∑ [X (Y − aX ∂ ∑ (et2 ) = -2 ˆ b ∑ (Y − aX t t t t t − b) = 0 − b) = 0 (1) (2) Les équations (1) et (2) sot dites les équations normales des moindres carrées. Divisant l’équation (2) par n ( le nombre d’observations) : 7 Y − aX − b = 0 ⇒ b = Y − aX ˆ Remplaçant b par sa valeur dans l’équation (2) ∑ X tYt − a ∑ X t2 − ∑ X t (Y − aX ) = 0 a[∑

définissons les erruers comme i = |f (ti ) − bi | = |α + βti − bi | 1 alors le but est : trouver les valeurs de α et β qui minimisent m 2 i. E= i=1 Selon la théorie d’optimisation, la valeur minimale se trouve par la résolution des équations pour les points stationnaires, ∂E = 0. ∂β ∂E = 0, ∂α Nous calculons aisement, m (α + βti − bi ) = 0 (α + βti − bi ) ti = 2 0, i=1 m 2 i=1 qui peut être réecrit en termes des deux inconnus, m m m 1 α+