Équation polynomiale

[pic] La fonction exponentielle et les équations différentielles. ➢ Comment transformer une écriture contenant une fonction exponentielle ? Méthodologie | | |Il suffit d’appliquer les propriétés algébriques suivantes : | |

correspondantes : x 2x dt 2x a) lim+ −x sin t2 dtb) lim x ln t c) lim x sin t dt t x→0 x→+∞ x→+∞ x→ a f (t) sin(xt) dt est lipschitzienne. Exercice 23 [ 01975 ] [correction] [Irrationalité du nombre π] a) Pour a, b ∈ N , montrer que la fonction polynomiale Pn (x) = 1 n x (bx − a)n n! a b Exercice 28 [ 00286 ] [correction] Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes : 2x 1/t 2x 2x t a) lim+ x e tdt b) lim x e t dtc) lim x cos(1/t) dt t x→0 x→+∞ x→+∞

On appelle équation linéaire à p inconnues une équation de la forme a1 x 1 + a2 x 2 + . . . + a p x p = b où a1 , a2 , . . . , a p , b sont p + 1 éléments de donnés. • a1 , . . . , a p sont appelés coefficients de l’équation, b est appelé second membre de l’équation ; x 1 , . . . , x p sont les inconnues de l’équation. • Tout p-uplet (x 1 , . . . , x p ) ∈ p vérifiant cette équation est appelé solution de l’équation. Définition A.3 On appelle système d’équations linéaires à n équations et à p inconnues

Minimisation du coˆt avec e u limite de capacit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 e 3 Equations aux diff`rences finies e 3.1 D´finition - G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e e 3.1.1 Equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Stabilit´ d’ un ´quilibre . . . . . . . . . . . . . e e 3.1.3 Etude locale d’ un ´quilibre . . . . . . . . . . . e 3.2 Equation lin´aire du premier ordre e a coefficients constants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 3

la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné. • Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples. • Mettre un problème en équation. • Résoudre une équation se ramenant au premier degré. Encadrer une racine d’une équation grâce à un algorithme de dichotomie. • Modéliser un problème par une inéquation. • Résoudre graphiquement des inéquations de la forme : f (x) < k ; f (x)

factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples. Les activités de calcul nécessitent une certaine maîtrise technique et doivent être l’occasion de raisonner. Les élèves apprennent à développer des stratégies s’appuyant sur l’observation de courbes, l’anticipation et l’intelligence du calcul. Le cas échéant, cela s’accompagne d’une mobilisation éclairée et pertinente des logiciels de calcul formel. Équations Résolution graphique et algébrique

La vie de Tartaglia a) Les équations du 3 ème degré par Tartaglia b) Les équations du 3 ème degré par d'autres mathématiciens. Exemple d'une résolution d'une équation du 3 ème degré par Tartaglia. I. La vie de Tartaglia Niccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »), né à Brescia en 1499 et décédé à Venise en 1557, est un mathématicien italien. Niccolò Fontana est issu d'une famille pauvre. Lors de la prise de Brescia par les Français en 1512, il se réfugie

déterminer sa valeur. E XERCICE 2 On considère l’équation différentielle (non linéaire) suivante : x y − 2|y| = x 1. On introduit les deux équations différentielles suivantes : x y − 2y = x x y + 2y = x (a) ⊂ R∗ + (E + ) (E − ) (E ) i. Soit I un intervalle. Résoudre (E + ) sur I . (on pourra chercher une solution particulière sous la forme d’une fonction polynomiale de degré 1). ii. Résoudre (E + ) sur R. (b) Reprendre rapidement la question 1a. avec (E − ). 2. (a) Soit y une solution de (E ) sur

(ln)o(exp) = I d , ainsi, si y = e x , on aura d'après 1 le théorème des fonctions inverses, (exp) ′(ln y ) = = y , d’où finalement (ln) ′( y ) (exp) ′( x ) = e x , cette propriété très remarquable sera précieuse lorsqu'on cherchera à résoudre des équations différentielles. Résumé Les fonctions usuelles de l’analyse TTP Propriétés de limites ex −1 =1 0 x 2°/ lim x ae x = 0 pour tout réel a > 0 1°/ lim −∞ ex 3°/ lim a = ∞ pour tout r éel a > 0 ∞ x ex 4°/ lim = ∞ pour tout polynôme P à coefficients

Chapitre 5 Équations - Inéquations Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Expressions algébriques Transformations d’expressions algébriques en vue d’une résolution de problème. Associer à un problème une expression algébrique. Identifier la forme la plus adéquate (développée, factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné. Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles