Équation quartique

f avec f(x) = Exercice 2 : (5points) x2 1 x 1 1) On donne les nombres complexes z = 1 – 2i et z’ = 3 + 4i. Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants : z + z’,z.z’, z 2 , 1 z et z z ' 2) Résoudre dans C chacune des équations suivantes : a) z 2  3  0 b) z – 1 = i z +2i Exercice 3 :(6 points) Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = - 1 3 x + 3x. 3 On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( o , i , j ) 1) Montrer que f est impaire

phénomène physique. Ces modèles utilisent très souvent des systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dont on ne connait pas de solutions analytiques en général. Il faut alors résoudre le problème numériquement en transformant les équations continues de la physique en un problème discret sur un certain domaine de calcul (le maillage). Dans certains cas il s'agit de la seule alternative (nucléaire, astrophysique, spatial...). Dans d'autres cas, les simulations numériques sont ménées

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 42 45 49 50 52 53 53 CHAPITRE IV. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass IV.1. Théorème de Runge et enveloppes d’holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2. Résolution C ∞ des équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3. Le Théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

coordonnées M. On va donc les appeler x et y, et on va calculer les coordonnées du vecteur \s\up10(¾® en fonction de x et y : \s\up10(¾® donc \s\up10(¾® 4. On utilise l’égalité \s\up10(¾® = 2\s\up10(¾® – \s\up10(¾® pour se ramener à deux équations dont x et y sont les inconnues : \s\up10(¾® = 2\s\up10(¾® – \s\up10(¾®    Conclusion : M a pour coordonnées (7 ; -5) Exercice 2D.1 On considère les trois points : A(2 ; 1) B(3 ; -4) C(2 ; 0) On veut placer le point

des Constantes déterminées par les conditions initiales du problème x(0) et x0 La Solution de cette équation est souvent mise sous la forme x(t) = X sin(ω0t +ϕ) = Xei(ω0t +ϕ) X = A2 + B 2 Avec A ϕ = Arctg ( ) B X = Amplitude de vibration= l’élongation maximale du Ressort. ϕ = Angle de déphasage X est atteint pour 2n +1 sin(ωt +ϕ) = 1 ⇔ωnt +ϕ = π 2 n = 0,1,2,..... Remarque: Les équations obtenues ci dessus décrivent le mouvement de beaucoup d’autres systèmes autres que « m+k » Conditions

manière à pouvoir les utiliser dans d’autre cours. Ces notes de cours donnent les principales dé…nitions et les résultats fondamentaux, illustrés par des exemples. Contenu du Cours Les nombres complexes Fonctions complexes Dérivation complexe, équations de Cauchy-Riemann Intégration complexe, Théorème de Cauchy Séries in…nies, séries de Taylor, séries de Laurent Théorème des résidus iv Description du Cours Résultats d’apprentissage À la …n du cours, l’étudiant doit avoir une bonne compréhension

Exercice 1 5 points On note i le complexe de module 1 et d’argument π /2.   Le plan est rapporté au repère orthonormal (O ; u , v ) ,unité 1 cm). 1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes les équations suivantes (les solutions seront données sous forme algébrique) : (1) : z 2  10 z  50  0 (2) : z  3  i 3 z  6 . 2. a. Soit A le point d’affixe z A  5  5i . Déterminer le module, un argument et la notation exponentielle de z A . b. Soit B le point d’affixe z B , z B étant le nombre

(Ligne 1) × −i (1 + i) × (Ligne 1) − (Ligne 2) 1 7−i × (Ligne 2) 1 2 − 3i 2 − i 1+i −2 3−i 1 2 − 3i 2 − i 0 7−i 2i 1 2 − 3i 0 1 2−i + 7i) 1 25 (−1 1 On en déduit qu’il existe une solution unique : Z1 = 25 (31 − 42i), Z2 = Si on conjugue les équations du système (S), on trouve : (1 − i)Z1 − 2Z2 =3+i −iZ1 + (3 − 2i)Z2 = 1 − 2i. 1 25 (−1 + 7i). Toute solution pour (U1 , U2 ) est donc la conjuguée d’une solution pour (Z1 , Z2 ) et vice versa. L’unique 1 1 solution est donc U1 = 25 (31 + 42i)

a 1 = a−n n a ( a n ) = a n× m ( ab ) = a nb n an a =   bn b 63 = 6 3− 4 4 6 1 = 7 −2 2 7 (3 ) (8x ) 2 8 8   = 2 3 3 m 2 −5 2×( −5) =3 n 2 3 =8 x 3 3 Bilan 3 : équations du 1er degré, équations produits et inéquations inéquations équations du 1er degré • Résoudre une équation d’inconnue x signifie déterminer x pour que l’égalité soit vérifiée. Méthode : • On va d’abord regrouper les constantes dans un seul membre. • On va ensuite regrouper les inconnues dans l’autre

ressources non utilisées. III. Revue algébrique de la méthode du simplexe La question qui se pose : que demande-t-on d’une procédure algébrique ? En premier lieu, on note que les contraintes du problème (3.2)-(3.5), forment un système de 4 équations et de 6 variables. Or il y a un nombre infini de solutions de ce système d’équations. Donc une procédure algébrique, pour la résolution d’un programme linéaire doit être capable de retrouver les solutions des systèmes d’équations où il y a plus de