Espace vectoriel quotient

Exercice 2.1. Soit E l’espace vectoriel des polynˆmes de degr´ inf´rieur ou ´gal ` n, o` n o e e e a u est un entier naturel non nul. Pour λ r´el non nul, on d´finit l’application uλ qui au polynˆme P de E e e o associe le polynˆme : o 1 uλ (P )(X) = 1 P (X) + λ P (t) dt X 2 0 1. Montrer que uλ est un endomorphisme de E. 2. Pour quelles valeurs de λ, uλ est-il un automorphisme de E ? D´terminer e alors l’automorphisme u−1 . λ 3. D´terminer les valeurs propres et les sous-espace propres de uλ . L’endomorphisme

entiers, nombres rationnels 1.4 Arithmétique dans Z 1.5 Polynômes et fractions rationnelles 1.6 Généralités sur les applications 1.7 Applications linéaires – Espaces vectoriels 1.8 Matrices – Déterminants – Systèmes linéaires 1.9 Espaces vectoriels euclidiens 1.10 Réduction des endomorphismes 1 1 2 5 7 8 11 12 17 22 26 2. Analyse 2.1 Espaces vectoriels normés 2.2 Nombres réels 2.3 Nombres complexes 2.4 Suites 2.5 Fonctions réelles de la variable réelle 2.6 Dérivation 2.7 Intégration 2.8 Équations différentielles

Espaces vectoriels norm´s e Table des mati`res e A. Topologie des espaces vectoriels norm´s e I. Normes 1) D´finition . . . . . . . . . . . . . . . e 2) Distance associ´e ` une norme e a 3) Normes ´quivalentes . . . . . . . . e 4) Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 5 7 II. D´finitions ensemblistes e 1) Boules, parties

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 11 11 12 13 Algèbre linéaire élémentaire 3.1 Propriétés des espaces vectoriels 3.2 Applications linéaires . . . . . . . 3.3 Algèbre matriciel . . . . . . . . . . 3.4 Déterminants . . . . . . . . . . . . 3.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et Intégral I” Wolfgang Bertram 8 décembre 2006 ii Introduction Introduction Le sujet de ce cours est l’étude et l’analyse des fonctions de plusieurs variables, f : Rn → Rm , ou, plus généralement f : V → W , où V et W sont des espaces vectoriels sur R. Pour donner une idée du plan du cours, on peut le diviser en trois parties principales : I. La continuité : Notions de base de la topologie générale. II. Différentiation. III. Eléments d’intégration. Les fonctions que nous allons étudier

. . . . e e e e 3.2.1 Espaces vectoriels, applications lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Formes bilin´aires sym´triques et formes quadratiques e e ´ 3.3 REDUCTION DES ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . 3.3.1 Sous-espaces stables, polynˆmes d’un endomorphisme o 3.3.2 R´duction d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . e 3.4 Espaces euclidiens, g´om´trie euclidienne, espaces hermitiens e e 3.4.1 Espaces pr´hilbertiens r´els . . . . . . . . . . . . . . . e e 3.4.2 Espaces euclidiens . . . . . .

Systèmes linéaires Calcul matriciel 1. Systèmes linéaires III TABLE DES MATIÈRES 2. Calcul matriciel 3. Un exemple d’espace vectoriel 114 125 131 131 138 142 144 148 153 153 156 165 173 175 175 182 186 189 197 197 200 206 208 5 Espaces vectoriels applications linéaires 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 2. Applications linéaires 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 4. Noyau et image d’une application linéaire 5. Deux applications 6 Diagonalisation 1. Théorie du changement

d’Anneau 4.1. Anneau . . . . . . . . 4.2. Sous-anneau . . . . . 4.3. Exemples d’anneaux 4.4. Arithmétique de Z . 11. Espaces Vectoriels 11.1. Structure d’espace vectoriel . . . . 11.2. Sous-espace vectoriel . . . . . . . . 7 11.3. Somme de sous-espaces vectoriels 11.4. Norme sur un espace vectoriel . . 7 11.5. Esp. vect. de dim. finie : base . . . . 7 11.6. Espaces vectoriels usuels . . . . . . 7 7 12. Applications Linéaires 12.1. Applications linéaires . . . . . . . . 8 12.2. s-e-v stable par

. . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments sur les ´l´ments propres e ee . . . . . . . 6 Formes quadratiques et polynˆmes du second degr´ ` variable o e a vectorielle 6.1 Les matrices sym´triques r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2 Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Polynˆmes du second degr´ ` variable vectorielle . . . . . o ea 6.4

Or vers , et la fonction On a donc est continue, donc quand tend vers tend aussi vers et tend Et donc Ce que nous savions. Mais on peut faire un peu mieux en divisant les deux membres par Le quotient de valeurs absolues est égal à la valeur absolue du quotient : Donc Et donc Cette fois-ci, on a Et donc Si l'on pose On retrouve bien Si maintenant la fonction est de classe on a par la formule de Taylor : On a aussi On a comme dans le calcul