Espace vectoriel topologique

peut le voir. On en donne ici une version plus générale. On peut encore augmenter la généralité en considérant des fonctions dénies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé, mais dans ce cas la démonstration se ramène à étudier une fonction d'une variable réelle (on considère t → f (a + t(b − a))). 4 Théoreme 1.7. Soit F un espace vectoriel normé, soient a et b dans R, a < b. On suppose que les deux fonctions f : [a, b] → F et g : [a, b] → R sont continues sur [a, b] et dérivables à droite

de cours est bas´ sur le poly de Tristan Tomala des ann´es e e pr´c´dentes. e e 3 4 Table des mati`res e 1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . 1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels 7 7 8 8 11 13 14 14 15 16 17 17 18 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de M − λIn b) On sait que sont indépendantes. La dimension du sous-espace propre Ker( f − λId ) vaut donc 1. b) Si c’est un endomorphisme cyclique diagonalisable, la somme des sous-espaces propres est E , les sousespaces sont de dimensions 1 , il y a donc n valeurs propres distinctes. Réciproquement tout endomorphisme ayant n valeurs propres distinctes est cyclique. 6°) a) C ( f ) est clairement un sous-espace vectoriel de L (E ) (stable par combinaisons linéaires et non C ( f ) est

encore plus. a Sommaire 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Alg`bre lin´aire (r´vision programme sup) e e e Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale d´pendant d’un param`tre e e e S´ries de Fourier e ´ Equations diff´rentielles

Exercices Corrig´s e Premi`res notions sur les espaces vectoriels e Exercice 1 – On consid´re le sous-espace vectoriel F de R4 form´ des solutions du syst`me e e e suivant : x1 − x2 − x3 + 2x4 = 0 (E1 ) (∗) x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E2 ) . 1) En r´solvant ce syst`me suivant l’algorithme du cours, donner une base de F . Quelle est la e e dimension de F ? 2) Soit u = (−4, −1, 3, 3) et v = (−3, −3, 6, 3). Montrer que u et v appartiennent a F. Quelles ` sont les coordonn´es de u et v

ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et le noyau d’ un endomorphisme

Pascal Lainé ( Exercice 7. Soit l’application définie pour tout ( ) ( {( ) Soit ( ) et sa dimension. 1. Donner une base de 2. Donner une base (La plus simple possible) de ( ) 3. A-t-on ( ) ? 4. Montrer que est un sous-espace vectoriel de ( ) 5. A-t-on ? Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Soit ( )). ( ) par : ) } ( ) et sa dimension. , en donner une base et sa dimension. un endomorphisme de dont l'image de la base canonique ( ) ( )

difficile I : Incontournable ***** très difficile no 1 (** I) : Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer que : [(F ∪ G sous-espace de E) ⇔ (F ⊂ G ou G ⊂ F)]. no 2 (****) : Généralisation. Soient n un entier supérieur ou égal à 2 puis F1 , ... , Fn n sous-espaces de E où E est un es  pace vectoriel sur un sous-corps K de C. Montrer que (F1 ∪ ... ∪ Fn sous-espace de E) ⇔ (il existe i ∈ 1, n / j=i Fj ⊂ Fi ). no 3 (** I) : E = Kn où K est un

F, G trois K-espaces vectoriels, u : E → F et v : F → G deux applications linéaires. Montrer que 1. ker (v ◦ u) = u−1 (ker v). 2. ker u ⊂ ker (v ◦ u). 3. Im (v ◦ u) ⊂ Im v . Exercice 5 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E dans lui-même telle que ϕn = 0 et ϕn−1 ̸= 0. Soit x ∈ E tel que ϕn−1 (x) ̸= 0. Montrer que la famille (x, ϕ(x), ϕ2 (x), . . . , ϕn−1 (x)) est une base de E . Exercice 6 Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E , de dimension

Algèbre linéaire 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . 1.1.4 Combinaisons linéaires de vecteurs 1.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Familles libres . . . . . . . . . . . 1.2.2 Familles génératrices . . . . . . . . 1.2.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . 1.4 Sous-espaces supplémentaires