Espace vectoriel

est positive, et on note A ≥ 0, si elle est à coefficients positifs ou nuls. Matrice Productive : On dit qu’une matrice carrée A est productive si A≥0 et si il existe au moins un vecteur q≥0 tel que q≥Aq. Matrice de Passage : Dans un espace vectoriel V de dimension n, on appelle matrice de passage d’une base β= u1, u2,…un dans une base β= u1, u2,…un , la matrice P dont les colonnes sont constituées des composantes des uk dans la base β des ui . Diagonalisation des matrices symétriques :

caractéristiques : on peut utiliser par exemple les angles d’Euler permettant de repérer R par rapport à Ro. w z z1 Ro v A1 y1 x1 y n u x → → → On définit le vecteur nodal n , donné par l’intersection des sous espaces vectoriels { x , y } et → → {u , v } Le passage d’une base à l’autre peut se faire par composition de 3 rotation planes : → → w → → → z → n y v → z ϑ Ψ → → h j n Ψ : angle de précession

complexes). Ces résultats permettent d'énoncer la proposition suivante : PROPOSITION : Soit a réel ou complexe. Alors : i) les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont de la forme y = λe–ax, où λ est un scalaire quelconque. Elles forment un espace vectoriel de dimension 1 dont une base est la fonction e–ax. ii) Si l'on fixe une condition y(x0) = y0, alors cette solution est unique. iii) En particulier, si y s'annule en un point, y est identiquement nulle. b) Caractérisation de l'exponentielle :

________________________________________________________________________________________________________________________ appliquèrent aux problèmes de géométrie. En fait, ce calcul quaternionesque fut quelque peu éclipsé par le calcul vectoriel classique (avec produits scalaires, vectoriels, mixtes, etc.), aussi bien en géométrie qu’en mécanique rationnelle. Cependant, depuis une vingtaine d’années, nous assistons à une réapparition de ces quaternions, notamment dans la résolution de certains problèmes de pilotage

lin´aires . . . . . . . . e 3.2.2 Familles g´n´ratrices . . . . . . . . . e e e 3.2.3 Familles libres et familles li´es . . . 3.2.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Rang et dimension . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel 3.3.2 Rang d’une famille de vecteurs . . . 3 5 9 9 9 9 10 10 11 11 12 15 17 18 18 20 21 21 22 23 25 25 26 27 29 29 30 31 33 33 34 34 35 36 38 39 39 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’origine du vecteur. désigne la longueur du vecteur. Commutativité : +=v + Associativité : +(+)= +) + Eléments neutre : o+u=u Multiplication par un réel : δxv=δv Base et repère de G espace vectoriel Base de G On appelle famille générative un ensemble de vecteur tel que tout élément de l’espace vectoriel, puisse s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire de ces vecteurs. V=δ1v1+δ2v2+δ3v3 Si (v1, v2, v3) sont orthogonaux deux à deux et == → Base orthonormée Repère de G So on particularise

il est nécessaire de connaître un minimum d’outils mathématiques relatifs au calcul différentiel. Pour de plus amples informations ou exercices, on se reportera par exemple à [2]. 1.1 Différentielle et gradient On se place dans des espaces vectoriels normés de dimension finie : on notera toujours · la norme, indépendamment de l’espace utilisé. Dans l’espace Rn , on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base

donc à est un espace vectoriel de dimension La famille de polynômes définis par pour est une famille libre de Considérons Posons On a Si alors réels : tels que Nous avons dit qu’un polynôme de degré quand il n’est pas nul ne peut prendre la valeur 0 que pour au plus nombres réels. Ici, ce polynôme prendrait la valeur 0 pour une infinité de réels : il est donc nul et donc La famille étant libre, comme elle contient vecteurs dans un espace de dimension c’est une base de cet espace. peut donc s’écrire

NOTES DU COURS DE MATHS 3 CHRISTIAN LÉONARD 1. Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies

1 1.1 Compléments sur R La droite réelle La droite réelle R =] 1; +1[ est considérée comme munie de: 1 ) son addition "+ "et sa multiplication " " usuelles lui donnant une structure de corps commutatif ( et d’ espace vectoriel sur lui - même ) 2 ) sa relation d’ ordre total " " usuelle 3 ) sa norme x 7! jxj := max(x; x), pour laquelle elle est complète. 1.1.1 Proposition Si O est un ouvert non vide de R, alors il existe une suite (Ik :=]ck ; dk [)k2N d’ intervalles ouverts de R , qui sont