Espace vectoriel

valeur co-propre et x vecteur co-propre associ´, il vient imm´diatement (tenant compte de la semi-lin´arit´) e e e e e e que eiθ est ´galement valeur co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace vectoriel r´el mais n’est pas un espace vectoriel complexe. e d. Il vient imm´diatement que la compos´e de deux applications semi-lin´aires est lin´aire. e e e e I.2. Matrice associ´e a une application semi-lin´aire. e ` e a. Soit A = aij avec aij la ieme composante de u(ej

et ajustement des prix . . . . . . . . . . . . . . . . 145 . 145 . 146 . 146 . 147 . 150 . 150 . 152 5 R´duction des endomorphismes e 5.1 Ind´pendance lin´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 5.1.1 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 5.1.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Valeurs

Monfort (1989a), Gourieroux and Monfort (1989b), Greene (1990), Cohen and Pradel (1993), Bourbonnais (1993), Johnston (1997), Johnson (1999), Ruud (2000). Yves Till´ e 1 Chapitre 1 ´ e El´ments d’alg`bre lin´aire e e 1.1 1.1.1 Espace vectoriel Vecteur Un ´l´ment de Rn est une suite ordonn´e de n ´l´ments de R. On peut disposer cette suite, appel´e ee e ee e vecteur soit en ligne, soit en colonne. Exemple 1.1 Le vecteur a = [3 0], est un vecteur ligne et le vecteur   3 b = −2

n + 1 et dim Ker ∆n = dim E0 = 1. Donc : rg ∆n = dim Im ∆n = n = k=1 ak i=0 = an n xn−1 + an n−1 n−2 i=0 n i x + i n−1 k−1 ak k=1 i=0 k i x i D’apr`s la question 1.a.i, Im ∆n ⊂ En−1 . Comme ces deux espaces vectoriels e sont de mˆme dimension, on en d´duit qu’ils sont ´gaux. En conclusion : e e e Im ∆n = En−1 =nan =0 deg n−2 2. (a) i. Soit k 1. Alors : ∀x ∈ R ∆ (Nk ) (x) Nk (x + 1) − Nk (x) (x + 1) x (x − 1) · · · (x − k + 2) x (x − 1) · ·

de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Applications à l’équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Un première formulation variationnelle du problème de Dirichlet homogène 55 55 57 58 60 7 Espaces de Sobolev 7.1 Définitions et propriétés . . . . . 7.2 L’espace H01 (Ω) . . . . . . . . . . 7.3 Traces et formules de Green . . . 7.4 Théorème de compacité de Rellich 7.5 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 63 66 68 70 72 . . .

by ′ + cy = ϕ( x ) ϕ fonction continue sur un intervalle I de R L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est ay ′′ + by ′ + cy = 0 ( II ) L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. 2. RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II). On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique ar 2 + br + c = 0 ( IIc ) 1. ∆ = b 2 − 4 ac > 0 L'équation caractéristique admet deux racines réelles

diagonalisable ? Sujet EDHEC 2005 – Math S 1 Exercice 2 Pour tout réel x, on note ⎣ x ⎦ la partie entière de x et on rappelle que ⎣ x ⎦ est le seul entier vérifiant : ⎣ x ⎦ ≤ x < ⎣ x ⎦ + 1. On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0). On note F sa fonction de répartition. On pose X1 = ⎣ X ⎦ , X2 = ⎣ 10( X − X 1 )⎦ et l’on admet que X1 et X2 sont des variables aléatoires définies elles aussi sur

(t0 , Y0 ) ∈ I × Kn il passe une seule solution de (1.1) définie sur I. Preuve. Voir Chapitre 2. Ce résultat implique que 1. S0 = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)} est un espace vectoriel de dimension n. Preuve. S0 , muni des opérations somme de deux solutions et produit d’un scalaire λ ∈ K et d’une solution est un espace vectoriel. S0 a dimension n, car si on fixe t0 ∈ I, alors Φt0 : S0 Y → → Kn Y (t0 ) est un isomorphisme linéaire, grâce au théorème 1.1.2. 2. S = {solutions de Y ′ (t) = A(t)Y (t)

2/15 espaces vectoriels, mais les notions qui y entrent en jeu n'interviennent pas ici. 1.2 Représentation graphique d'une fonction numérique de 2 variables réelles. Une fonction de 2 variables réelles porte sur des couples de nombres réels. On représente l'ensemble de ces couples (c'est-à-dire le domaine de définition de la fonction) par une partie d'un plan. Les images de ces couples sont des nombres réels. On représente toutes ces images sur une droite. On a donc besoin d'un espace à 3 dimensions

mathématique et raisonnements 2. Ensembles et applications 3. Relations 4. Le corps des nombres complexes 5. Groupes 6. Anneaux et corps 7. L’anneau des matrices 8. L’anneau des polynômes Le cours d’algèbre du second semestre sera consacré aux espaces vectoriels, à l’algèbre linéaire et aux équations différentielles. 4 Chapitre 1 Logique, langage mathématique et raisonnement 1.1 Éléments de logique Définition 1.1.1. Une proposition logique est un énoncé mathématique auquel on peut attribuer