Estimateur

blanc si (i) sa moyenne E{X[n])} est nulle et (ii) quels que soient les instants n1 et n2 considérés (n1 ≠ n2) X[n1] et X[n2] sont décorrélées. On parle de « bruit blanc strict » si de surcroît X[n1] et X[n2] sont indépendantes ∀ n1 ≠ n2. ˆ Un estimateur α d’une v.a. α est dit : ˆ (i) 'sans biais' si E{ α -α} = 0. ˆ (ii) 'consistant' si ∀ ε > 0, lim (Pr ob{α − α ≥ ε}) = 0 , N désignant la durée d’observation. N→ ∞ Calculs de probabilité sur une variable gaussienne On note G la fonction de

infinie si α < 1 la moyenne est infinie 14 Daniel HERLEMONT Page 7 7 Estimateur de Hill • Pour une distribution à queue épaisse: • Fonction Quantile : F ( x ) = x −αl ( x ) Q(1 − p) = p −γ l ∗ (1 / p) ⇒ log Q(1 − p) = −γ log( p) + log l ∗(1 / p) • statistiques ordonnées of X1, X2,…,Xn : ∗ ∗ X1∗ ≤ X 2 ≤ K ≤ X n ∗ X n− j+1 est un estimateur de la fonction quantile Q(1− j/(n+1)) Estimateur de Hill = Régression j  droite de régression ∗ log(X n− j+1) vs. −log

rapidement vers les bons estimateurs des moindres carrées l’un des logarithmes les plus performant est une combinaison de la linéarisation de GAUSS-NEWTON et de la méthode de GRADIENT, cette combinaison est appelé « compromis de marquardt » • Le compromis de MARQUARDT: MARQUARDT a développé un algorithme d’interpolation optimale entre la méthode de GAUSS-NEWTON et la méthode de GRADIENT, c'est-à-dire que l’algorithme de MARQUARDT converge toujours très rapidement vers les estimateurs des (MC) a partir

3/64 On peut alors calculer : xiP X -E X - Var X x 2i P xi X xi 6/64 10/64 12/64 12/64 10/64 6/64 13, 5 : on remarque que E X EX . 2 5 EX : on remarque que Var X 12 3/64 2 n 1/64 Var X n . 2. Estimateur - Estimation 2.1. Moyenne et variance d’échantillon Considérons un caractère quantitatif représenté par une variable aléatoire X d’espérance mathématique , d’écart-type , et un échantillon X 1 , X 2 , . . . , X n de taille n de X. n 1 Pour

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 20 21 23 23 24 27 3 Estimation 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 G´n´ralit´s sur les estimateurs . . . . . . . e e e 3.3 Estimation ponctuelle des param`tres usuels e 3.3.1 Estimation de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 31 31 3 . . . . . . . .

Moyenne de l’échantillon : 1 x= n „ n ∑ xi i= 1 Variance de l’échantillon : 1 s = n 2 n ∑ i= 1 ( x i − x )2 Echantillonnage Paramètres et estimateurs „ La moyenne est un estimateur sans biais de la moyenne de la population E(x) = µ „ La variance s2 est un estimateur biaisé par défaut (mais asymptotiquement sans biais) de la variance de la population 2 2 E (s ) 30 n −1 d = tα 2 σˆ n d = zα 2 „ Sera utilisée comme

Les paramètres propres à la population-mère : moyenne, variance, etc. Les paramètres propres à la loi de référence : paramètre d'une loi de Poisson, paramètres d'une loi normale, etc. 6.3.2. Notion d'estimateur d'un paramètre de Ω. 6.3.2.1. Estimateur et estimation ponctuelle. Soit X un caractère quantitatif de la population Ω. Ce caractère prend les valeurs inconnues xi, i ∈ {1, ... N}. Un résumé de l'ensemble des valeurs {x1, ... , xN} peut être défini par un ou plusieurs paramètres de Ω (moyenne

paramètres : Les paramètres propres à la population-mère : moyenne, variance, etc. Les paramètres propres à la loi de référence : paramètre d'une loi de Poisson, paramètres d'une loi normale, etc. 6.3.2. Notion d'estimateur d'un paramètre de Ω. 6.3.2.1. Estimateur et estimation ponctuelle. Soit X un caractère quantitatif de la population Ω. Ce caractère prend les valeurs inconnues xi, i ∈ {1, ... N}. Un résumé de l'ensemble des valeurs {x1, ... , xN} peut être défini par un ou plusieurs paramètres de Ω (moyenne

distribution est dite leptokurtique, si la Kurtosis est inférieure à 3, la distribution est dite platikurtique. Le moment empirique correspondant au degré d’excès de Kurtosis pour un échantillon de taille T s’écrit: Ku=1T1T(xt-xσx)4 Ou σx désigne un estimateur non biaisé de la variance. Sous l’hypothèse nulle de normalité, on montre que: Ku-324TT~∞N(0,1) C'est-à-dire que le la kurtosis est largement et significativement supérieure à 3 On pose : H0 :K=3 H1 :K≠3 Le kurtosis de la loi

......................................................................... 16 2.1.1 Qu’est-ce que l’économétrie ? ................................................................................................... 16 2.1.2 La différence entre un estimateur non-biaisé et efficace, et une variable significative ............. 16 2.1.3 Les tests d’hypothèses ................................................................................................................ 18 2.1.4 Homoscédasticité vs Hétéroscédasticité