Extremum

ℝ𝑛𝑛 un sous ensemble non vide de ℝ𝑛𝑛 et 𝑓𝑓: 𝐷𝐷 ⟶ ℝ une application sur 𝐷𝐷 à valeurs réelles. Un problème d’optimisation (PO) consiste à déterminer, lorsqu’il existe, un extremum (minimum ou maximum) de 𝑓𝑓 sur 𝐷𝐷 88Recherche opérationnelle et optimisation  Classification des PO selon la nature des variables de décision:  Optimisation continue: 𝐷𝐷 est continu  Optimisation

minimum, extremum Soit f une fonction r´eelle d´efinie sur un sous-ensemble A de R. La fonction f admet un maximum local en a ∈ A s’il existe un r´eel r > 0 tel que f (x) ≤ f (a), ∀x ∈ [a − r, a + r] ∩ A ; la valeur du maximum est f (a). La fonction f admet un minimum local en a ∈ A s’il existe un r´eel r > 0 tel que f (x) ≥ f (a), ∀x ∈ [a − r, a + r] ∩ A ; la valeur du minimum est f (a). Si l’in´egalit´e est vraie pour tout x ∈ A on parle alors d’un maximum ou d’un minimum global. Un extremum est un

Définition 5.2.6 (Extremum local) On dit que f admet un maximum (resp. minimum) local en a ∈ I, s’il existe un intervalle ]a − α, a + α[, α > 0, tel que, pour tout x appartenant à ]a − α, a + α[∩I, on a : f (a) f (x) (resp. f (a) f (x)). Un extremum local est un maximum local ou un minimum local. BTS IRIS Lycée Langevin-Wallon, académie de Créteil 5.3. INTÉGRATION 43 Proposition 5.2.8 Soit f une fonction définie sur [a, b]. Si f est dérivable sur [a, b] et si f admet un extremum local en c ∈]a

de la dérivée et sens de variation. Extremum d’une fonction. • Exploiter le sens de variation pour l’obtention d’inégalités. Il n’est pas toujours utile de recourir à la dérivation pour étudier le sens de variation d’une fonction. On traite quelques problèmes d’optimisation. B Notre point de vue L’objectif de ce chapitre est d’apprendre à utiliser la dérivation pour étudier le sens de variation d’une fonction et pour déterminer ses extremums. Dans le Avant de commencer plusieurs

est la diff´rentielle de f −1 en Y = f (X) : e ∂h ∂g1 ∂f ∂g2 ∂f (u, v) = (u, v) · g(u, v) + (u, v) · g(u, v)) ∂v ∂v ∂x ∂v ∂y df −1 (Y ) = df (X) Jf −1 (Y ) = Jf (X) −1 −1 . Diff´rentielles, matrices jacobiennes e Extremums p 1 (4.1) Formule de Taylor Soit f : U → R une application de classe C et X0 = (x0 , y0 ) un point de U . Alors lorsque X = (h, k) → 0 = (0, 0), lim (h,k)→(0,0) √ 1 h2 +k2 f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − h ∂f ∂f (X0

linéaire. Une autre façon d’introduire des non-linéarités serait de supposer que le coût de l’endettement est une fonction croissance de l’endettement. 270 Revue de l’OFCE 93 LES MODÈLES DE TAUX DE CHANGE l’hystérèse du système puisque chaque extremum local entraîne le passage d’une branche à l’autre, alors qu’au niveau micro seul le passage d’une valeur seuil entraîne un tel phénomène. Ainsi, plus l’hétérogénéité individuelle est forte (valeurs seuils différentes pour chaque agent), plus la relation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.10. Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.11. Majorants, minorants, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Extrema . . . . . . . . .

Besoin De Financement) Figure 3 : Petit et Grand Equilibres. Le Maximum de Besoin de Financement (M.B.D.F.) intervient lorsque la courbe de cash-flow devient positive. On observe alors que la courbe de cash-flow cumulés actualisés atteint son extremum global. Le M.B.D.F. correspond globalement à la trésorerie maximale dont on a besoin pour faire face à l'ensemble des obligations de financement relatives à la réalisation d'un projet. Dans la pratique, le calcul de MBDF se fait souvent sur une

= 0} un extremum local en x0 ∈ V , si g et f1 , · · · , fd sont diff´erentiables au voisinage de x0 et si les vecteurs ∇f1 (x0 ), · · · , ∇fd (x0 ) sont lin´eairement ind´ependants, il existe λ1 , · · · , λd ∈ R, appel´es multiplicateurs de Lagrange, tels que d ∇g(x0 ) = λk ∇fk (x0 ). k=1 Preuve: La preuve n’est pas triviale et utilise un argument de calcul diff´erentiel (genre th´eor`eme des fonctions implicites): L’id´ee de la preuve est la suivante: si il y a un extremum sur V en

que MW = 0. 4. Determiner la matrice de l'endomorphisme de R3 : X 7! MX dans cette base B (on la notera A dans la suite de cet exercice). 5. On de nit sur R3 la fonction f : X 7! t XM 2X , ou t X designe la matrice transposee de X: Rechercher ses extremums locaux. (Il n'est pas necessaire de deriver) 6. Calculer A2 , en deduire une relation entre M 2 X et X lorsque h X i = 0. 7. M 2 est-elle diagonalisable ? Solution : 1. On a : On conclut par symetrie du produit scalaire. 2. Soit X un vecteur