Extremum

→ f (x) α= → −∞ x L’allure de la parabole représentant f est Cf β = f(α) S α= b 2a 0 0 α= b 2a β = f(α) Cf S Démonstration On vérifie que f (α ) = a (0 )2 + β = β donc (α ; β) est un point de la parabole. Montrons que f réalise un extremum en α : f ( x ) − f (α ) = a ( x − α )2 + β − β = a ( x − α )2 Séquence 2 – MA41 41 Si a > 0 Si a < 0 Pour x ≠ α , ( x − α )2 > 0 car un nombre non nul au carré est toujours strictement positif. Pour x ≠ α , ( x − α )2 > 0 Ainsi, a ( x − α

travaille, la conjoncture ou autre. C’est une approche plus simpliste. On se base sur l’évolution du prix de l’action dans le passé. L’exemple le plus connu est de travailler avec des graphiques. « tête-épaule » Tête épaule : on travaille sur les extremums locaux. Quand on a eu à trois moments 3 pic : 2 identiques qui sont les épaules, et une plus élevé qui correspond à la tête. Ça nous donne un objectif de prévision du cours. Si la hauteur de la tête est égale à H, l’objectif de prédiction c’est

de sAB par rapport a r(t) donne tout simplement les ´quations du mouvement ` e d2 r δsAB = 0 ⇐⇒ 2 = − Φ(r) δr(t) dt Autrement dit la particule suit une trajectoire qui extr´mise le temps propre sAB . On voit de (2.16) e qu’en g´n´ral cet extremum sera un maximum, car l’int´grale du deuxi`me terme dans le crochet n’est e e e e autre que l’action, qui est en g´n´ral minimis´e par la trajectoire. Nous verrons ult´rieurement que cet e e e e ´nonc´ est ´quivalent a l’affirmation selon laquelle

cellee e e e ci. Il y a de nombreux autres exemples de principes variationnels en physique. Les lois de l'optique g¶om¶trique, par exemple, peuvent se d¶duire du principe de Fermat qui postule que le rayon lumineux e e e e®ectivement suivi r¶alise un extremum (en g¶n¶ral un minimum) du temps de parcours. e e e Le fait que nous prenions une fonction de Lagrange ne d¶pendant que des positions et des vitesses e (mais pas de d¶riv¶es d'ordre sup¶rieur) exprime, comme nous le verrons, que les ¶quations fondae

programme (Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009) : Contenus Études de fonctions Fonctions polynômes de degré 2. Fonctions homographiques. Capacités attendues v Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes. v Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homographique. Corrigés des QCM pour bien commencer 1 à 9 Ces exercices sont corrigés dans le manuel de l’élève. Corrigés des activités

particule par trois paramètres : son emplacement ; l’emplacement où elle a observé la fonction la plus forte (le maximum spécifique) ; l’emplacement où l’essaim a observé la fonction la plus forte (le maximum de l’essaim). La connaissance des différents extremums permet une convergence rapide de l’essaim vers le maximum globale. Il est évident que pour garantir une recherche robuste du modèle, il convient de répartir l’essaim de manière uniforme dans l’espace. Cette approche est très intéressante et garantie

contrainte ) y* = 4 / x 2 = 1 Vérification graphique : Méthode : On trace sur le même dessin la ligne C = C min et la contrainte U = Ln 4 , Puis on vérifie que les 2 courbes sont tangentes ( même pente ) au point extremum ; Ici : * C = 3  x + y = 3  y = 3 – x ( droite ) de pente = - 1 * U = Ln 4  y = 4 / x 2 ( courbe de type hyperbole ) on dérive : ( d y / d x ) = – 8 / x 3 (  y ‘ ( x ) = – 8 / x 3 ) donc

positive). Cependant, la piste de phéromone s’évapore progressivement (rétro action négative). La rétroaction positive fait converger l’algorithme vers une solution de qualité alors que la rétroaction négative empêche l’algorithme de tomber dans un extremum local. Le problème est d’assigner un chariot cavalier à une mission. 9 R. Montemanni, L.M. Gambardella, A.E. Rizzoli, et A.V. Donati. A new algorithm for a dynamic vehicle routing problem based on ant colony system. Technical Report, TR-23-02,

l’expression de f ′, a et b par les valeurs trouvées précédemment, et remarquer que x2 est positif. b) Utiliser les limites des fonctions usuelles. c) Déterminer le signe de – ln(x) puis les variations de f. Penser à préciser les bornes et les extremums éventuels. 3. a) Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur l’intervalle ]0 ; 1]. 2. a) Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[, b) Appliquer la technique de balayage. f ′(x) a le même signe que – ln x. Polynésie

d´rivable e La d´riv´e d’une fonction renseigne sur certaines particularit´s de son graphe. Elles e e e permet d’identifier, entre autres : x y Pour quelles valeurs de son domaine de d´finition la courbe croˆ ou d´croˆ ? e ıt e ıt Quels sont les extremums relatifs (locaux) ou absolue (globaux) de la fonction ? D´finition. e d’accroissement au point x0 Soit x0 ∈ I. On dit que f est d´rivable au point x0 si son taux e Tf,x0 = f (x) − f (x0 ) x − x0 tend vers une limite finie quand x