Extremum

cos i ' di ' = n cos r ' dr ' ; dr + dr ' = 0 ; dD = di + di ' On a donc : n cos r ' dD cos r ' cos i di ' dr ' cos r ' cos i = 1− = cos i ' =− d’où n cos r dr di cos i ' cos r di cos i ' cos r cos i La déviation passe donc par un extremum (le minimum de déviation observé expérimentalement) lorsque dD = 0 ⇒ cos rm′ cos im = cos im′ cos rm (*) di En élevant au carré et en injectant les expressions de im et im′ en fonction de rm et rm′ : cos 2 rm′ × (1 − n 2 sin 2 rm ) = (1 − n

Cristaux Photoniques I- Introduction La notion de ”cristaux photoniques” (CPs) a été introduite pour la première fois en 1987 [2].Le premier cristal photonique a été réalisé en 1991 [4]. Les cristaux photoniques sont des structures dont l’indice de réfraction varie périodiquement dans une, deux ou trois dimensions. Ce milieu périodique produit sur la lumière qui se propage dans le cristal photonique un effet analogue à celui du potentiel périodique sur les électrons dans un cristal. De même

Déterminer les extrema de f sur [-5 ; 6]. Remarque : Étant donné que la calculatrice graphique détermine numériquement les extrema, les résultats sont des valeurs approchées. Il peut arriver que la calculatrice ne les trouve pas tous ou indique un extremum de manière erronée. Il est donc utile de se demander sur quel intervalle il peut se trouver. A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur l’icône RUN-MAT pour la mettre en surbrillance, Valider

idoneus auctor;      invidiam noxae detrahit ille meae. diva parens seniorque pater, pia sarcina nati,      spem mihi mansuri rite dedere viri. si fuit errandum, causas habet error honestas:      adde fidem, nulla parte pigendus erit. Durat in extremum vitaeque novissima nostrae      prosequitur fati, qui fuit ante, tenor: occidit internas coniunx mactatus ad aras      et sceleris tanti praemia frater habet, exul agor cineresque viri patriamque relinquo      et feror in dubias hoste sequente vias;

de G ? A) [G] = B) [G] = C) [G] = D) [G] = E) [G] = ?  ?  ? ?  ? ?²  ?  ?   ?  ? ?  ?  ? On recherche alors une position d’équilibre du système. -C’est  une  valeur  de  r  pour  laquelle  l’énergie  potentielle  atteint  un  extremum.    Si  c’est  un   maximum, on parle d’équilibre  instable,  si  c’est  un  minimum, on parle d’équilibre  stable. -Rappel : La fonction dérivée est nulle aux extrema. 2) En déduire une équation vérifiée par cette  position  d’équilibre  en  r

directeur de la tangente et le sens de variation sur un intervalle I = [a ; b] de la fonction puis entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction. Recherche d’extremums : modélisation de quelques situations faisant intervenir des extremums de fonctions simples. Déduire de la lecture d’un tableau de variation l’existence d’un minimum ou d’un maximum d’une fonction sur un intervalle donné. SCIENCES ET TECHNOLOGIES Le B.O. DE LA SANTÉ ET DU SOCIAL N° 2 26 OCT. MATHÉMATIQUES

R p . Point critique Soit U un ouvert de R2 , a ∈ U et f : U → R une fonction de classe C n . On dira que a est un point critique pour f si et seulement si toutes les dérivées partielles de f existent et s’annulent en a. Extremum local On dira que f : U → R2 admet un extremum local sur X ⊂ U en un point a ∈ X si et seulement si ∀ x ∈ X, f ( x) f ( a) ( f admettant alors un maximum en a) ou ∀ x ∈ X, f ( x) f ( a) ( f admettant alors un minimum en a). c Dunod. La photocopie non autorisée est un délit

(x) = f (x0 ), d'où le résultat annoncé. Remarque 2.3.3. (i) Les propositions précédentes ne supposent aucune condition de diérentiabilité sur f. (ii) Soient Ω est un ouvert de E et x0 ∈ Ω et f : Ω → R une fonction diérentiable. Si x0 est un extrémum de f, alors f (x0 ) = 0. La réciproque n'est pas vraie en générale, mais pour les fonctions convexes, ona : Proposition 2.3.15. Soient f : C −→ R une fonction convexe et x0 un point de C tel que f soit diérentiable en x0 . Alors, f admet un minimum

1/2[ et q = 1 − p. Soit A = e . q p Dans ce qui suit, on cherche ` d´terminer inf ψ(A − M ). a e M ∈T 4. a) Soit U = x . Exprimer F (x, y) = ψ(A − U.t U ) en fonction de x et y. y b) D´terminer les points critiques de F . e c) En d´duire les extremums de F . e d) En d´duire le minimum de ψ(A − U.t U ), lorsque U d´crit R2 . e e Solution : 1. Par exemple 2. On a : U t U = 1 1 1 1 convient. x2 xy . xy y 2 C’est une matrice sym´trique de rang inf´rieur ou ´gal ` 1 car si l’on note e e e a C1

parallèles. La conjecture est fausse. 33  a) D’après la courbe ’, f ’ (x)  0 si x  0 et 33 f ’ (x)  0 si x  0. Donc f est décroissante sur ]–  ; 0] et croissante sur [0 ; + [. b) f ’ s’annule en changeant de signe en 0, donc f admet un extremum en 0. D’après a), f (0) est un minimum de f. x –1 0 f (x) – x–1 – – x+1 + + f ’ (x) + f (x) x ex 0 1 0 –1 0 – 0 1 + e e –1 + 2 – 1  0 si 2 ex  1, c’est-à-dire si